Глава 8. Численные методы Решения нелинейных уравнений

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую величину называют корнем уравнения ?

2. Что означает, что корень уравнения имеет кратность степени k ?

3. Какие уравнения называют алгебраическими ?

4. Какие алгебраически уравнения называют приведенными ?

5. Какие уравнения называют трансцендентными ?

6. На какие группы делят методы решения нелинейных уравнений ?

7. В чем заключаются прямые методы решения нелинейных уравнений ?

8. В чем заключаются аналитические методы решения нелинейных уравнений ?

9. В чем заключаются численные методы решения нелинейных уравнений ?

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие этапы содержит алгоритм численного решения нелинейного уравнения ?

2. Какие используются два варианта локализации корней уравнений ?

3. Какие методы применяют для определения одиночных начальных приближенных значений корней ?

4. Сформулируйте теорему Больцано–Коши и ее следствие - теорему о нуле непрерывной функции.

5. Как и для чего выполняется сканирование с постоянным шагом ?

6. Какие возможны погрешности в определении доверительных отрезков в сканировании с постоянным шагом при использовании шага крупного размера ?

7. В чем заключается метод локализации корней с использованием стационарных точек ?

8. Как в методе локализации корней с использованием стационарных точек учитывается знак функции f(x) в исследуемой точке или на бесконечности (х®-¥или х®+¥), если в них значение f(x) стремится к бесконечности ?

Практическое задание.

1. Найти с использованием сканирования с постоянным шагом доверительные отрезки, содержащие корни уравнения f(x) = x⁴ - x³ - 20х + 25 = 0.

2. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f(x) =3x⁴ - 8x³ - 90x² - 200 = 0.

3. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f(x) =2sinx - x = 0.

8.3. Уточнение корней уравнения на доверительном отрезке.
Метод половинного деления

В простейшем случае уточнение корня на доверительном отрезке [a,b] с заданной точностью e означает задание абсолютной погрешности, с которой приближенное значение корня x_пр может отличаться от точного значения корня x*:

ï x* - x_прï≤ e . (8.4)

и численное определение нового итогового доверительного отрезка[a,b],на котором все точки x_прÎ[a,b] удовлетворяют условию (8.4).

Итерационное численное определение итогового доверительного отрезка[a,b] при простейшем варианте реализации методов уточнения заключается в последовательных вычислениях приближенных значений корня x₁, x₂,..., x_i, построении на каждом шаге i нового сокращенного доверительного отрезка [a_i,b_i] и проверке его длины. Если ïb_i - a_iï ≤ e, то доверительный отрезок требуемой длины e найден, вычисления завершаем. Иначе (при ïb_i - a_iï>e) переходим к новой итерации и продолжаем сокращать доверительный интервал.

Данная простейшая схема чаще всего срабатывает. Однако в реальных расчетах при поиске итогового доверительного отрезка[a,b] встречаются такие ситуации,когда для очередного приближенного значения x_i значение функции оказывается практически равным нулю: f(x_i) » 0. Данную ситуацию кратко назовем попаданием в корень, поскольку в этом случае значение x_i очень близко к искомому корню x*. При этом из-за погрешностей вычислений f(x_i) может возникнуть ошибка в знаке функции, из-за чего уже на следующей итерации может быть потерян искомый корень уравнения, т.е. будут строиться доверительные интервалы, не содержащие x*.

Для устранения возможной потери корней необходимо уже на этапе постановки задачи учесть погрешность вычисления функции и возможность попадания в корень.

Корректная (позволяющая всегда найти решение при возможном попадании в корень) постановка задачи уточнения на доверительном отрезке [a,b] с заданной точностью e и погрешностью вычисления функции e_f означает численное определение:

1) либо нового итогового доверительного отрезка[a,b] длины, не превышающей e :

(b - a) £ e (8.5а)

2) либоприближенного значения корня x_пр, у которого:

ïf(x_i)ï< e_f. (8.5б) С учетом новой постановки задачи уточнения корня (8.5а)-(8.5б) численный алгоритм ее решения на каждой итерации i при известном доверительном отрезке [a_i-1,b_i-1]из предыдущей итерации (i -1) должен включать следующие действия:

1) расчет очередного приближения х_i,

2) проверка условияïf(x_i)ï≤e_f - если оно выполнено, то найдено приближенное значение корня x_пр, для которого выполнено условие окончания расчета (8.5б), выход из алгоритма, иначе (ïf(x_i)ï> e_f) – продолжение расчетов;

3) сокращение доверительного отрезка, обозначим его [a_i,b_i], если ïb_i - a_iï ≤ e, то найден доверительный интервал требуемой длины e (выполнено условие окончания расчета (8.5а)), вычисления завершаем; иначе (ïb_i - a_iï>e) - переходим к новой итерации.

Основным требованием к итерационным методам решения уравнений является сходимость: предел последовательности получаемых значений неизвестного {x₁,x₂,x₃,...} должен существовать и быть равным искомому точному корню уравнения x*.

При наличии сходимости главным качественным показателем метода является скорость сходимости, которая определяется числом n вычислений функции f(x), необходимых для получения приближенного значения корня x_пр с заданной точностью e на исходном доверительном отрезке [a,b]. Таким образом, в общем случае n зависит от следующих факторов: 1) вида функции f(x), 2) длины доверительного отрезка (b - a), 3) точности решения e,т.е. в общем случае:

n = n(f(x),(b - a),e). (8.6)

Поскольку число необходимых расчетов функции f(x) возрастает с увеличением длины отрезка [a,b] и уменьшением точности e, то вместо двух данных факторов можно рассмотреть их отношение М=(b - a)/e, которое назовем масштабом задачи.

Наиболее распространенными методами уточнения корней на заданном доверительном отрезке являются следующие итерационные методы нулевого порядка, в которых используется только расчет значений целевой функции:

1) половинное деление,

2) метод хорд.

8.3.1. Метод половинного деления уточнения корней на доверительном отрезке

Допустим, для уравнения f(x)=0 заданы:

1) доверительный отрезок [a,b], на котором непрерывная функция f(x) меняет знак: f(a)× f(b) < 0,

2) точность e, с которой необходимо найти корень f(x),

3) допустимая погрешность вычисления значения функции e_f.

Необходимо найти приближенное значение корня x_пр с точностью e_f либо новый доверительный отрезок для него с точностью e .

Обозначим начальные значения границ отрезка через a₀ и b₀, на каждой очередной итерации i (=1,2,...) - через a_i и b_i.

Рассмотрим итерацию метода с номером i (=1,2,...). К началу ее известен доверительный отрезок [a_i-1,b_i-1] предыдущей итерации (i-1), на котором функция f(x) меняет знак: f(a_i-1)× f(b_i-1) < 0. На итерации i рассчитываем значение функции в средней точке отрезка [a_i-1,b_i-1], имеющей координаты: x_i = (a_i-1+b_i-1)/2. Для значения функции f(x_i) выполняем следующие проверки.

1. Если ïf(x_i)ï< e_f, то искомое приближенное значение корня считаем найденным (x_пр = x_i) ивыходим из алгоритма; иначе вычисления продолжаем;

2. Если выполнено условие f(a_i-1)× f(x_i) < 0, то это означает, что искомый корень содержится между точками a_i-1 и x_i, корректируем доверительный отрезок: a_i:=
a_i-1; b_i:=x_i;

иначе (f(a_i-1)× f(x_i) ³ 0) искомый корень лежит между точками x_i и b_i-1, корректируем доверительный отрезок: a_i:=x_i; b_i:= b_i-1.

3. Если ïb_i - a_iï ≤ e, то найден доверительный интервал требуемой длины e, вычисления завершаем; иначе (ïb_i - a_iï>e) - переходим к новой итерации (i +1).

При поиске корня с точностью e все промежуточные расчеты должны выполняться с более высокой точностью, для того, чтобы при округлении не "потерять" точный корень.

Сходимость метода. Поскольку метод на каждом шаге удерживает искомый точный корень x* на доверительном отрезке [a_i,b_i], длина которого который уменьшается в два раза по сравнению с предыдущим шагом, то метод всегда сходится к точному решению.

Скорость сходимости метода. Она не зависит от вида функции Поскольку на каждом шаге длина доверительного отрезка уменьшается ровно в два раза, то число шагов n равно числу делений числа (b-a) на 2, при котором результат окажется меньше либо равен e:(b-a)/2ⁿ ≤ e. Отсюда следует: 2ⁿ ³ (b-a)/e; n ³ log₂((b-a)/e);

n = n(f(x),(b - a),e) = ]log₂((b-a)/e)[ = ]log₂M[, (8.7)

где ]x[ - ближайшее целое сверху к значению x.

Пример 1. Уточнить по методу половинного деления корень уравнения f(x) = x³ - 6х + 2 = 0 из примера 1 п.8.2 с точностью e = 0,01 на отрезке [2;3].

Решение. Масштаб задачи равен: М=(b - a)/e =1/0,01 = 100. Следовательно, из (8.5) следует, что число необходимых итераций равно n = ]log₂(100)[ = 7. Из примера 1 п.8.2 следует, что f(2)<0; f(3)>0. Точность расчетов примем равной 0,0001. Рассмотрим выполнение итераций с номерами 1-7.

Итерация 1. х₁=(2+3)/2=2,5. f(2,5)= x³ - 6х + 2 = 15,625 - 15 + 2 = 2,625 > 0. ½f(2,5)½³ e_f, f(2,5)×f(2)<0, поэтому корень находится на отрезке [2;2,5], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,5 >e.

Итерация 2. х₂=(2+2,5)/2=2,25. f(2,25)= x³ - 6х + 2 » 11,3906 - 13,5 + 2 = -0,1094<0. Так как f(2)×f(2,25)>0, то корень находится на отрезке [2,25;2,5], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,25 >e.

Итерация 3. х₃=(2,25+2,5)/2=2,375. f(2,375)= x³ - 6х + 2 » 13,3965 - 14,25 + 2 = 1,1465>0. Так как f(2,25)×f(2,375)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,375], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,125 >e.

Итерация 4. х₄=(2,25+2,375)/2=2,3125. f(2,3125)= x³ - 6х + 2 » 13,3665 - 13,875 + 2 = 1,4915>0. Так как f(2,25)×f(2,375)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,3125], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,0625 >e.

Итерация 5. х₅=(2,25+2,3125)/2»2,2825. f(2,2825)= x³ - 6х + 2 » 11,8914 - 13,6950 + 2 = 0,1964>0. Так как f(2,25)×f(2,3125)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,2825], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,03125 >e.

Итерация 6. х₆=(2,25+2,2825)/2»2,2663. f(2,2663)= x³ - 6х + 2 » 11,6400 - 13,5978 + 2 = 0,0422>0. Так как f(2,25)×f(2,2663)<0, то корень находится на отрезке [2,25; 2,2663], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,0015625 >e.

Итерация 7. х₇=(2,25+2,2663)/2»2,2582. f(2,2582)= x³ - 6х + 2 » 11,5156 - 13,5492 + 2 = - 0,0336<0. Так как f(2,25)×f(2,2663)>0, то корень находится на отрезке [2,2582; 2,2663], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,00078125 < e. Следовательно, вычисления заканчиваем и последний доверительный отрезок [2,2582; 2,2663] принимаем в качестве решения задачи.

Достоинствами метода половинного деления является простота его алгоритма и гарантированная сходимость к искомому корню независимо от вида функции. Она может иметь любой непрерывный вид, в том числе – быть недифференцируемой в отдельных точках начального доверительного отрезка.

Основной недостаток - невысокая скорость сходимости по сравнению с другими методами. Также относительным недостатком является возможность случайного попадания в корень, из-за чего приходится проверять дополнительное условие ïf(x_i)ï< e_f.

Вопросы для проверки знаний.

1. Почему корректное решение задачи уточнения корня уравнения на доверительном отрезке должно учитывать погрешность вычисления функции ?

2. Каким образом в общем случае выполняются итерации при численном уточнении корня уравнения на доверительном отрезке ?

3. Что называют сходимостью метода уточнении корня уравнения на доверительном отрезке и скоростью сходимости ?

4. Какие методы уточнения корней на заданном доверительном отрезке являются наиболее употребительными ?

5. Как в методе половинного деления вычисляется очередное приближенное значение корня ?

6. Всегда ли сходится метод половинного деления и какова его скорость сходимости ?

7. Укажите достоинства и недостатки метода половинного деления уточнения корня уравнения на доверительном отрезке.

Практическое задание.

1. Уточнить по методу половинного деления корень уравнения f(x) = x⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,05 на отрезке [1,5;3].

Метод хорд

Метод половинного деления на каждой итерации i при расчете очередного приближения x_i не учитывает положение по оси Оу точек функции f(x) в краях текущего доверительного отрезка [a_i-1,b_i-1]. В методе хорд целевая функция f(x) на этом отрезке интерполируется отрезком прямой (хордой), у которого один из отрезков закреплен и приближение x_i рассчитывается как пересечение данной хорды с осью Ох. Это в общем случае позволяется ускорить сходимость метода (уменьшить число необходимых итераций) по сравнению с методом половинного деления.

Рассмотрим случай, когда закреплена точка b исходного доверительного отрезка [a; b], а точка a используется в качестве начального приближения для искомого корня: x₀ = a. Таким образом, к началу каждой итерации i доверительный интервал имеет вид: [a_i-1= х_i-1; b]. Уравнение прямой, проходящей через точки плоcкости Охy с координатами (х_i-1, f(х_i-1)) и (b, f(b)), можно представить в виде:

(x - х_i-1)/(b_i-1 - х_i-1) = (f(x) - f(х_i-1))/ (f(b) - f(х_i-1)). Подставляя в это условие значение f(x)=0, которое соответствует корню уравнения, получим выражение для абсциссы точки пересечения хорды с осью Ох: x = х_i-1 - f(х_i-1)(b - a_i-1)/ (f(b)- f(х_i-1)).

Внося в правой части полученной формулы все слагаемые под общий знаменатель и выполняя сокращения, получим схему итерационного процесса по методу хорд для закрепленной точки b:

x₀ = a; x_i = х_i-1 - f(х_i-1)(b - х_i-1)/(f(b)- f(х_i-1));(i=1,2,...). (8.8 а) При закрепленной точке b последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно возрастающую, ограниченную сверху точкой b (следовательно, сходящуюся) последовательность: а = x₀ < x₁< ... x_i < b.

Аналогично рассматривается случай, когда закреплена точка a исходного доверительного отрезка [a; b], а точка b используется в качестве начального приближения для искомого корня: x₀ = b. Схема итерационного имеет вид:

x₀ = b; x_i = х_i-1 - f(х_i-1)( a - х_i-1)/(f(a)- f(х_i-1));(i=1,2,...). (8.8 б)

При закрепленной точке а последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно убывающую, ограниченную снизу точкой а (следовательно, сходящуюся) последовательность: b = x₀ > x₁ >... > x_i > а .

В отличие от метода половинного деления, точность искомого приближенного решения оценивается не по длине содержащего его итогового доверительного отрезка, а по приращениям между очередными приближенными значениями корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | x_i - x_{i - 1}|< e , (8.8 в)

где e - заданная предельная величина приращений значения корня.

Метод всегда сходится, когда вторая производная целевой функции f''(x) сохраняет знак на отрезке [a; b]. Кратко правило выбора схемы итерационного процесса, обеспечивающего сходимость метода, можно сформулировать следующим образом: закреплен должен быть тот конец доверительного отрезка, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х).

При этом последовательные приближения x_n лежат по ту сторону точного корня x*, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).

Поскольку в методе хорд последовательность приближенных значений {x_i} монотонно стремится к искомому точному корню, здесь не возникает ситуации со случайным попаданием в корень и можно не анализировать дополнительное условие ïf(x_i)ï< e_f, как в методе половинного деления.

На рис.8.1 и 8.2 показан процесс приближения по методу хорд при f'' (x)>0 в случаях f(а) > 0 (рис.8.1) и f(b) > 0 (рис.8.2).

Рис.8.1. f'' (x)>0, f(а) > 0 Рис.8.2. f'' (x)>0, f(b) > 0

Пример 1. Применить метод хорд для уточнения корня уравнения f(x) = x³ - 6х + 2 = 0 из примера 1 п.8.2 с точностью e = 0,01 на отрезке [2;3].

Решение. Вторая производная целевой функции f''(x) > 0 на всем исходном отрезке [2;3]. Из примера 1 п.8.2 следует, что f(2)<0; f(3)>0. Следовательно, в качестве закрепленной принимаем точку 3, так как в ней знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной f'' (х). Схема итерационного процесса с учетом f(3) =3³ - 6×3 + 2 = 11 принимает вид:

x₀ = 2; x_i = х_i-1 - f(х_i-1)(3- х_i-1)/(11 - f(х_i-1));(i=1,2,...).

Итерация 1. x₀ = 2; f(x₀) = f(2) =2³ - 6×2 + 2 = -2. x₁ = х₀ - f(х₀)(3- х₀)/(11 - f(х₀)) = 2 -(-2)(3- 2)/(11 -(-2)) = 2 +2/(13) = 2,1538. Приращение | x₁- x₀| = 0,1538 > e , продолжаем вычисления.

Итерация 2. x₁ = 2,1538; f(x₁) = f(2,1538) =2,1538³ - 6×2,1538 + 2 = 9,9912-12,9228 + 2 = -0,9316. x₂ = х₁ - f(х₁)(3- х₁)/(11 - f(х₁)) = 2,1538 - (-0,9316)(3- 2,1538)/(11 -(-0,9316)) = 2,2199. Приращение | x₂- x₁| = 0,0661 > e , продолжаем вычисления.

Итерация 3. x₂ = 2,2199; f(x₁) = f(2,2199) =2,2199³ - 6×2,2199+ 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = -0,3798. x₃ = х₂ - f(х₂)(3- х₂)/(11 - f(х₂)) = 2,2199 - (-0,3798)(3- 2,2199)/(11 - (-0,3798)) = 2,2459. Приращение | x₃- x₂| = 0,0260 > e , продолжаем вычисления.

Итерация 4. x₃ = 2,2459; f(x₁) = f(2,2459) =2,2459³ - 6×2,2459+ 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = - 0,1469. x₄ = х₃ - f(х₃)(3- х₃)/(11 - f(х₃)) = 2,2459 - (-0,1469)(3- 2,2459)/(11 - (-0,1469)) = 2,2558. Приращение | x₃- x₂| = 0,0099 < e , вычисления завершаем.

Как видно из примера, по методу хорд на поиск решения затрачено 4 итерации против 7 у метода половинного деления.

Достоинствами метода хорд является более быстрая и гарантированная сходимость к искомому корню при выполнении всех необходимых условия применения метода.

Основной недостаток - необходимость дополнительного исследования второй производной функции, что может представлять отдельную задачу.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какое приближение применяется для целевой функции в методе хорд ?

2. Какое условие используется для завершения итерационного процесса в методе хорд ?

3. В чем заключается достаточное условие сходимости метода хорд и каково правило выбора неподвижной точки ?

4. Существует ли в методе хорд необходимость учитывать случайное попадание в корень ?

5. Какую точку следует принять в качестве закрепленной при отрицательной второй производной f'', f(а) > 0 и f(b) < 0.

Практические задания.

1. Уточнить по методу хорд корень уравнения f(x) = x⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,05 на отрезке [1,5;3].

2.Отделить положительный корень уравнения f(x) = x³ - 0,2 x² - 0,2 х - 1,2 = 0 и уточнить его с точностью e = 0,01.

Вопросы для проверки знаний.

1. Чем отличается уточнение корня в окрестности приближенной точки от уточнения на доверительном отрезке ?

2. Какие методы уточнения корней в окрестности начального приближения являются наиболее употребительными ?

3. Как задают точность решения в методах уточнения корней в окрестности начального приближения ?

4. Какой порядок имеют методы уточнения корней в окрестности начального приближения ?

5. В чем заключается основная идея уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом ?

6. Почему при корректной реализации метода сканирования с переменным шагом необходимо учитывать возможность попадания в корень?

7. Какой полный набор исходных данных должна содержать полная постановка задачи уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом ?

8. В каком виде может быть получено решение задачи уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом ?

9. Каковы достоинства и недостатки метода уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи сканирования с переменным шагом ?

Практические задания.

1. Уточнить по методу сканирования с переменным шагом корень уравнения f(x) = x⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,2 на отрезке [1,5;3].

2.Отделить положительный корень уравнения f(x) = x³ - 0,2 x² - 0,2 х - 1,2 = 0 и уточнить его с точностью e = 0,05.

Метод простой итерации

Допустим, необходимо уточнить корень уравнения f(x)=0 при заданном начальномприближении x₀ и необходимой точности определения корня e. В методе простой итерации исходное уравнение приводят к специальному виду x=φ(x), (8.9)

который удобен для применения метода простой итерации.

Схема метода простой итерации при заданном начальном приближении x₀ имеет вид:

x_i=φ(x_i-1), (i=1,2,…,). (8.10 а)

Условие завершения итерационного процесса:

|x_k+1–x_k|<ε. (8.10 б)

Достаточным условием сходимостиметода является следующее условие:

1) функция φ(x) имеет первую производную φ¢ (x) на всей области поиска W (конечной или бесконечной),

2) для первой производной на W выполняется условие ½φ¢ (x) ½£ q <1.

Справедливость условия вытекает из следующих оценок, в которых используется теорема Лагранжа о среднем:

Так как .

Вопросы для проверки знаний.

1. К какому специальному виду приводят уравнение f(x)=0 для применения метода простой итерации ?

2. Какова схема метода простой итерации и каково условие завершения итерационного процесса ?

3. Каково достаточное условие сходимости метода простой итерации ?

4. Какой параметр определяет скорость сходимости метода простой итерации ?

Практическое задание.

1. Привести к расчетной схеме метода простой итерации, исследовать область сходимости и уточнить по методу простой итерации корень уравнения f(x) = x³ – е^х-10 = 0 с точностью e = 0,1 в окрестности приближенного значения x₀ = 20.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какова схема итерационного процесса метода Ньютона ?

2. Какова геометрическая интерпретация метода Ньютона ?

Практическое задание.

1. Уточнить по методу Ньютона корень уравнения f(x) = x³ – е^х-10 = 0 с точностью e = 0,1 в окрестности приближенного значения x₀ = 20.

Глава 8. Численные методы Решения нелинейных уравнений

Уравнения, не представимые в линейном виде, называют нелинейными.Решение нелинейных уравнений и их систем является одним из наиболее распространенных видов математических задач в самых различных разделах науки и техники.

В самом общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным хÎR можно записать в виде:

f(x) = 0, (8.1)

где f(x) – некоторая нелинейная непрерывная функция аргумента x.

8.1.Корни нелинейного уравнения.
Виды нелинейных уравнений и методы их решения

Всякое число x_i, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. при котором выполняется условие (8.1), называют корнем данного уравнения. Если в точке x =x_i наряду с функцией обращаются в ноль и ее производные до (k-1) порядка включительно, то число x_i называют корнем k-й кратности. Однократный корень также называют простым.

В зависимости от вида функции f(x) нелинейные уравнения подразделяют на алгебраические, уравнений специального вида и трансцендентные.

В алгебраических уравнениях функция f(x) является алгебраической функцией (в общем случае - рациональной (целой или дробной) или иррациональной). Однако чаще всего под алгебраическим уравнением имеют в виду только уравнения с левой частью f(x) многочленом - целой рациональной алгебраической функцией. В канонической форме данный вид уравнений имеет следующий вид:

f(x) = с_nхⁿ + ... + с₂х² + с₁х + с₀ = 0, (8.2)

где с_n ,...,с₂,с₁,с₀– коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения. Коэффициент с_n при максимальной степени хⁿ называют старшим. Если старший коэффициент многочлена равен 1, то многочлен называют приведенным.

Уравнения степени n = 2 называют квадратными, n = 3 - кубическими.

Пример 1. Алгебраические уравнения:

1) х² + 3х + 2 = 0 - приведенное квадратное уравнение;

2) aх³ + bх² + cх + d = 0 - кубическое уравнение;

3) aх⁴ + bх³ + cх² + dх + e = 0 - алгебраическое уравнение 4 степени;

4) aх⁴ + bх²+ c = 0 - биквадратное уравнение (уравнение степени 4 с нулевым кубическим коэффициентом);

5) х^m + c = 0 - приведенное двучленное степенное уравнение m-й степени;

6) aх^2m + bх ^m+ c = 0 - обобщенное биквадратное уравнение.

Среди уравнений алгебры, отличных от алгебраических, выделяют такие специальные виды, как показательные, логарифмические, тригонометрические и другие, которые содержат только функции одного вида либо выражения, приводимые к ним (например, 1=cos²х +sin²х).

Если же в уравнение входят функции различных видов (например, многочлен и логарифм, тригонометрическая и показательная), то такое уравнение называют трансцендентным.

Пример 2. Уравнения, отличные от алгебраических:

1)cos²х + cos2х + 1,5 = 0 - тригонометрическое уравнение;

2)log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3 - логарифмическое уравнение;

3) sin х + 2 lg х =10х - трансцендентное уравнение;

4) 2x — lоg₂ х = arccos x - трансцендентное уравнение.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые, аналитические и численные (итерационные).

Прямые методы позволяют записать условие существования решения и корни (если они существуют) в виде некоторого готового соотношения (формулы). Выяснить существование корней и вычислить их значения корней можно за конечное число арифметических операций. Например, квадратные уравнения решаются прямым методом с использованием двух формул - для дискриминанта и корней. Условия проверки существования решения и формулы для корней являются точными и не содержат погрешностей метода и вычислений.

Аналитическое решение уравнения обычно производится путем изучения его ОДЗ (области допустимых значений неизвестных) и выполнения тождественных преобразований, при которых уравнение последовательно заменяется равносильными ему. Получаемые в итоге возможные решения уточняются с помощью ОДЗ. Такие методы развиты для решения специальных уравнений - тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Прямые и аналитические методы затрачивают, как правило, минимальное число операций на определение решений и являются точными, т.е. они устанавливают однозначные зависимости между начальными данными задачи (коэффициентами уравнения) и его решениями – даже в тех случаях, когда коэффициенты известны приближенно. При этом сам метод решения не вносит дополнительной погрешности в итоговое решение.

Однако основную массу нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми и аналитическими методами - даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не существует аналитических решений в виде формул с конечным числом арифметических действий. Решение трансцендентных уравнений также возможно только в отдельных случаях, в основном на основе исследования ОДЗ неизвестного и области значений функций, входящих в уравнение. Например:

Практически все трансцендентные уравнения не решаются аналитически. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью за счет использования итерационных расчетов, в которых сходные вычисления выполняются циклически над изменяющимися данными.

Поскольку коэффициенты уравнений, описывающих реальные объекты и процессы, как правило, получают в результате измерений и оценок с некоторой погрешностью, то само понятие “точное решение” в данном случае лишается своего изначального смысла. Поэтому практически приемлемым подходом является обеспечение требуемой точности получаемого решения.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую величину называют корнем уравнения ?

2. Что означает, что корень уравнения имеет кратность степени k ?

3. Какие уравнения называют алгебраическими ?

4. Какие алгебраически уравнения называют приведенными ?

5. Какие уравнения называют трансцендентными ?

6. На какие группы делят методы решения нелинейных уравнений ?

7. В чем заключаются прямые методы решения нелинейных уравнений ?

8. В чем заключаются аналитические методы решения нелинейных уравнений ?

9. В чем заключаются численные методы решения нелинейных уравнений ?