Численные методы решения нелинейных уравнений

Способы отделения корней уравнений

Рассмотрим приближенные методы решения нелинейных уравнений на примере уравнения .

При использовании некоторых методов в качестве исходных данных необходимо указать отрезок, содержащий только один корень данного уравнения Поиск такого отрезка называется отделением корней уравнения. Отделение корней можно проводить двумя способами: графическим и аналитическим.

Графический метод. Действительным корням уравнения соответствуют точки пересечения графика функции с осью Ох. Для нахождения отрезка, содержащего только один корень уравнения, достаточно построить график функции и визуально определить на каких отрезках находятся корни. Точность отделения отрезков зависит от точности построения графиков.

Пример 1: Выполнить отделение корней уравнения графическим методом.

Для решения данной задачи требуется построить график функции Протабулируем данную функцию. Сначала определимся с областью построения, например, выберем , с шагом 0,25 будем вычислять значение функции (см. рис. 2)

Далее с помощью мастера диаграмм, выбрав тип диаграммы точечная, постоим график функции, представленной таблично. (см. рис. 3)

На рисунке 3 видно, что точки пересечения графика функции с осью Ох попадают в отрезки и .

Аналитический метод. В основе данного метода лежат теоремы математического анализа.

Рис. 2. Таблица функции

Рис. 3. График функции

Теорема 1 (Теорема Больцано-Коши). Если непрерывная на отрезке функция на концах указанного отрезка принимает значения разных знаков, т.е. то на интервале она хотя бы один раз обращается в нуль.

Теорема 2.Непрерывная монотонно возрастающая или монотонно убывающая функция имеет единственный нуль на отрезке тогда и только тогда, когда на концах указанного отрезка она принимает значения разных знаков, т.е.

Пример 2: Выполнить отделение корней уравнения аналитическим методом.

Для решения данной задачи требуется протабулировать функцию на некотором отрезке, например, и определить «соседние» точки, в которых функция принимает значения разных знаков.

Шаг табулирования выбираем произвольно, т.о. заполняем ячейки А1:С2 (рис. 4). Далее в ячейку А5 записываем ссылку на ячейку А1, в ячейку А6 записываем формулу, см. рисунок 5. С помощью маркера автозаполнения в первом столбце производим дальнейшие вычисления.

Заполняем столбец B5:B17, для этого в ячейку B5 записываем формулу вычисления функции и протягиваем ее вниз.

Рис. 4. Вид экрана для аналитического метода отделения корней

Рис. 5. Формула для заполнения ячейки А6

В ячейку С6 вводится комментарий (ячейка С5 остается пустой), он поможет определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков (рис. 6).

В столбцах Dи Eзаписываются формулы для вычисления первой и второй производных данной функции.

Рис. 6. Формула для заполнения ячейки С6

В итоге видим, что найдены два отрезка, содержащие только один корень. Убедитесь в справедливости теоремы 2 для данных отрезков самостоятельно.

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Выполнить отделение корней для функции своего варианта двумя способами графическим методом и аналитически. Начальные данные и шаг подобрать в зависимости от вида уравнения и области его определения.

Контрольные вопросы

1. Как записать основные математические функции в Excel.

2. Сформулируйте алгоритм графического метода отделения корней.

3. Сформулируйте теорему 1 и теорему 2. В чем их отличия и сходства.

4. Сформулируйте алгоритм аналитического метода отделения корней.