Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru . Таким образом получаем, что

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru Здесь Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru является элементом объема в цилиндрических координатах. Выражение тройного интеграла через сферические координаты Объем в сферических координатах Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru . Таким образом получаем, что

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru

Здесь Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru является элементом объема в цилиндрических координатах.

26 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Необходимый признак экстремума: Если в точке Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru дифференцируемая функция Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru , Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru .Доказательство: Допустим, что функция Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruимеет в точке Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruэкстремум. Согласно определению экстремума функция Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruпри постоянномВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,как функция одного Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruдостигает экстремума при Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruпри Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,т. е.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru .Аналогично функция Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruпри постоянном Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,как функция одного Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru , достигает экстремума при Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru .Значит, Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruЧто и требовалось доказать.Точка Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,называется стационарной точкой функцииВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru. Уравнение касательной плоскости к поверхности Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru : Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruдля стационарной точки Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruпринимает вид Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru .Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruэкстремума в точке Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruгеометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.Для отыскания стационарных точек функции Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruнужно приравнять нулю обе ее частные производныеВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru , Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru . (*) и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.Пусть точка Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruявляется стационарной точкой функции Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru , т. е. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruВычислим в точкеВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruзначение вторых частных производных функции Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruи обозначим их для краткости буквами A, B и C:Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruЕсли Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,то функция Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruимеет в точкеВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruэкстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruследует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).ЕслиВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,то точка Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruне является точкой экстремума.ЕслиВыражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ru ,то неясно, является ли точка Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты - student2.ruточкой экстремума и требуется дополнительное исследование.



Наши рекомендации