Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов

Пусть Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ); Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru );

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

‒ формула для вычисления смешанного произведения.

Пример:

  Дано: ABCD – тетраэдр. A (– 2; 3; – 4) B (3; – 1; 5) C (4; – 4; 2) D (5; 7; 1)   Найти: 1) Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ABC 2) Уравнение BCD 3) VABCD Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Решение:

1) Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

2) Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru │: 2

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru – уравнение BCD.

3) Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru кубических единиц.

Теорема. Признак компланарности векторов.

Для того чтобы векторы Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru были компланарны, необходимо и достаточно чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е.

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ,

т.к. объем Vпараллелепипеда = 0 (векторы Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru в одной плоскости).

Пример: Проверить компланарны ли три вектора

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = {1; 1; 1}, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = {1; 3; 1}, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = {2; 2; 2}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов.

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · [ Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru × Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ] = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Ответ: вектора компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю.

Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскость проходит через точки М1 = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ), М2 = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) и М3 = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ), не лежащие на одной прямой и М (x, y, z) – произвольная точка плоскости.

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Векторы Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru и Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ‒ компланарные, т.к. находятся в одной плоскости. Следовательно,

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = 0.

Запишем это равенство в координатной форме:

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

‒ уравнение плоскости проходящей через три данные точки.

ЛЕКЦИЯ № 10

Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.

Вектор в n‒ мерном пространстве.

n ‒ мерным вектором называется упорядоченная совокупность n ‒ действительных чисел, записываемых в виде:

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , …, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ),

где Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ‒ i‒ компонента вектора Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru .

Для n ‒ мерных векторов имеют место операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru – коммутативность;

2. Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) = ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru – ассоциативность;

3. l( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = (l Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru – ассоциативность;

4. l ( Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) = l Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + l Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru – дистрибутивность;

5. Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + (‒ Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru ) = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru .

Линейным векторным пространством называется совокупность n ‒ мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.

Вектор Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru называется линейной комбинацией векторов Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , …, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , если для любых чисел Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , …, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , не равных нулю одновременно, выполняется равенство:

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + … + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru

Векторы Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , …, Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору.

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + … + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru · Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru (1)

В противном случае векторы называются линейно независимыми, т. е. равенство (1) выполнится только для Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = … = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = 0.

Совокупность линейно независимых векторов векторного пространства R называется его базисом, а их количество называется размерностью векторного пространства.

Если в векторном пространстве Rимеется nлинейно независимых векторов, то размерность этого пространства обозначается dimR = n, dim – размерность (dimension).

Векторное пространство размерности n обозначается Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru .

Теорема.Если векторы Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , … , Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru образуют базис векторного пространства Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , то любой вектор Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru , можно единственным образом разложить по этим векторам:

Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru = Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru + … + Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов - student2.ru .

Наши рекомендации