Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть даны векторы 
и 
.
Перемножим их скалярно, используя свойства 2) и 3):
Так как 
; 
,
то
. (13)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
Из формул (12) и (13) можно получить следующие формулы.
1) Для вектора его модуль вычисляется по формуле
. (14)
2) Угол между двумя векторами , вычисляется по формуле 
,
или
. (15)
3) Согласно свойству 4) и формулы (13) условием ортогональности двух векторов и является равенство
. (16)
4) Расстояние между точками 
и 
можно найти как длину вектора 
, т.е.
. (17)
Пример. Найдите скалярное произведение векторов 
и 
.
Решение.По формуле (13): 
, т.е. 
.
Пример.Найдите угол между векторами 
и 
.
Решение.По формуле (15):
.
Пример. Вычислите проекцию вектора 
на ось, имеющую направление вектора 
.
Решение.
Так как 
, то сначала найдём скалярное произведение векторов 
и 
:
,
затем длину вектора 
.
Тогда 
.
Здесь отрицательный знак показывает, что угол между вектором и осью проекции – тупой.
Векторное произведение векторов
Правая и левая тройки векторов
Пусть заданы три некомпланарных вектора 
. Отложим их из одной точки. Будем смотреть из конца вектора 
на векторы 
и . Если кротчайший поворот от к будет совершаться против часовой стрелки, то такая тройка векторов называется правой (рис. 6 а). Если кротчайший поворот от к будет совершаться по часовой стрелке, то тройка векторов называется левой (рис. 6 б).
Рис. 6. Правая и левая тройки векторов
Если векторы 
образуют правую тройку векторов, то система координат называется правой (рис. 7, а), в противном случае система будет левой (рис. 7, б).
Рис.7. Правая и левая системы координат
Векторным произведением двух векторов и называется
третий вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) 
, где 
;
2) вектор ортогонален вектору и вектору ;
3) векторы образуют правую тройку векторов.
Векторное произведение обозначается: 
или [ ; ].
Свойства векторного произведения
1) 
.
2) Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда его сомножители коллинеарны (если один из векторов есть нулевой вектор, то можем считать, что и коллинеарны):
.
3) 
.
4) 
.
5) Если векторы и неколлинеарны, то модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :
. (18)
Выражение векторного произведения через координаты
Пусть даны векторы , .
Так как 
– правая тройка векторов, то
Отсюда 
Таким образом,
(19)
Замечание.Условием коллинеарности векторов и является равенство 
, т.е.
.
Пусть 
– матрица, составленная из координат векторов и .
Получим из матрицы А путем поочередного вычеркивания столбцов определители 
, 
, 
:
Тогда
Итак, условие коллинеарности двух векторов и :
или
.
Площадь треугольника
Пусть треугольник построен на векторах и . Тогда его площадь находят по формуле
(20)
Если векторы и находятся в плоскости хОу, то 
и
Пример.Векторы и образуют угол 
. Найдите модуль вектора 
если 
.
Решение. По формуле (18):
.
Пример.Найдите векторное произведение векторов 
и 
.
Решение.По формуле (19):
Таким образом, векторным произведением векторов 
и 
является вектор = {-7; -7; -7}.
Пример.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
Решение.1) Искомая площадь S равна модулю векторного произведения , т.е. 
.
2) Вычислим векторное произведение:
Координаты векторного произведения 
= { -2; -3; -7}.
3) Тогда 
(кв. ед.)
Пример.Вычислите площадь треугольника АВС, построенного на векторах 
и 
.
Решение. По формуле (20): 