Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть даны три вектора

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Найдём смешанное произведение Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

1) Обозначим Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru . Пусть Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Найдём координаты X, Y, Z вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Пусть Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru – матрица, составленная из координат векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , тогда

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

2) Умножим скалярно Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru :

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru =

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru . (21)

Видим, что

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ,

так как левая часть равенства (21) является разложением этого определителя по элементам третьей строки.

Замечания. 1. Условием компланарности трех векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru является равенство:

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ,

где строки определителя – координаты векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

2.Так как объём параллелепипеда, построенного на векторах Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru равен Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , то объём пирамиды вычисляют по формуле:

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru . (22)

Пример.Найдите объём пирамиды, построенной на векторах

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Решение.Поскольку объём пирамиды можно вычислить по формуле (22), то найдём смешанное произведение:

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru (куб. ед.)

Пример. Установите, компланарны ли векторы

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Решение. Проверим условие компланарности Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru .

Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

Векторы Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru – компланарны.

Иллюстрации:

Рис.1 «Коллинеарные векторы»

Рис.2. «Компланарные векторы. Операции над векторами»

Рис.3. «Построение вектора»

Рис.4. «Проекция вектора на ось»

Рис.5. «Вычисление координат вектора»

Рис.6. «Правая и левая тройки векторов»

Рис.7. «Правая и левая системы координат»

Рис.8. «Геометрический смысл смешанного произведения»

Презентации:

· Скалярное произведение векторов

· Векторное произведение векторов

· Смешанное произведение векторов

Контрольные вопросы:

1. Вектор – это …

2. Длина вектора – это …

3. Какие векторы называются коллинеарными?

4. Какие векторы называются неколлинеарными?

5. Какие не лежащие на одной прямой векторы называются сонаправленными?

6. Какие не лежащие на одной прямой векторы называются противоположно направленными?

7. Какие лежащие на одной прямой векторы называются сонаправленными?

8. Какие лежащие на одной прямой векторы называются противоположно направленными?

9. Какие векторы называются компланарными?

10. Какие векторы называются некомпланарными?

11. Какие векторы называются равными?

12. Какой вектор называется нулевым?

13. Что называется суммой двух векторов? По какому правилу она находится?

14. Что называется разностью двух векторов? По какому правилу она находится?

15. Что называется произведением вектора на число? По какому правилу оно находится?

16. Перечислите свойства суммы векторов

17. Перечислите свойства умножения вектора на число

18. Напишите формулу для нахождения координат вектора по координатам начала и конца

19. Напишите формулу для нахождения координат суммы двух векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

20. Напишите формулу для нахождения координат разности двух векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

21. Напишите формулу для нахождения координат произведения вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru на число k

22. Напишите формулу для нахождения длины вектора по его координатам (на плоскости)

23. Напишите формулу для нахождения длины вектора по его координатам (в пространстве)

24. Напишите формулу для нахождения координат точки М(x,y,z), делящей отрезок М1М2 в отношении k, если М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2)

25. Что называется ортом вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

26. Что называется направляющими косинусами вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

27. Напишите формулу для нахождения направляющих косинусов вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

28. Что называется проекцией вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru на ось Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

29. От чего зависит знак проекции вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru на ось Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

30. Перечислите свойства проекции вектора Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru на ось Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

31. Что называется углом между двумя векторами?

32. Что называется скалярным произведением двух векторов?

33. Перечислите свойства скалярного произведения векторов

34. Напишите формулу для нахождения скалярного произведения векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

35. Напишите формулу для нахождения косинуса угла между векторами Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

36. Запишите условие ортогональности двух векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

37. Что называется векторным произведением двух векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

38. Перечислите свойства векторного произведения векторов

39. Напишите формулу для нахождения векторного произведения векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

40. Запишите условие коллинеарности двух векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

41. По какой формуле вычисляется площадь треугольника, построенного на векторах Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

42. Что называется смешанным произведением векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru ?

43. Перечислите свойства смешанного произведения векторов

44. Напишите формулу для нахождения смешанного произведения векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

45. Запишите условие компланарности трех векторов Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru , Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru и Выражение смешанного произведения через координаты - student2.ru

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Наши рекомендации