Извлечение корня из комплексного числа

Корень n-ой степени из комплексного числа извлекается по формуле

.

Значения , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения , которые можно получить при .

Пример. Найдите корни уравнения .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме:

,

то есть . Тогда

.

При получим:

.

При получим:

.

При получим:

.

При получим:

.

Ответ: .

Образец выполнения контрольной работы

1. Даны матрицы и . Вычислить матрицу .

, .

Решение. Транспонируем матрицу :

.

Найдем произведение матриц и :

Следовательно, искомая матрица будет равна:

Ответ:

2. Вычислить определитель четвертого порядка:

.

Решение. Разложим данный определитель по элементам второго столбца (т. к. второй столбец содержит наибольшее количество нулей):

Ответ: 5.

3. Найти матрицу, обратную данной:

.

Решение.

1) Вычислим определитель матрицы :

Поскольку определитель данной матрицы отличен от нуля, следовательно, обратная матрица существует.

2) Найдем матрицу, транспонированную к :

.

3) Вычислим алгебраические дополнения к транспонированной матрице:

4) Найдем обратную матрицу:

Ответ: .

4. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера,

б) методом Гаусса:

Решение.

а) Решим систему методом Крамера:

Ответ: , , .

б) Решим систему методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Вернемся к системе уравнений, соответствующей последней матрице:

Ответ: , , .

5. Вычислить , если , , .

Решение.

,

,

.

Ответ:

6. Даны вектора , , . Вычислить векторное произведение .

Решение.

Сначала определим координаты векторов и :
.
.

Тогда векторное произведение полученных векторов:

Ответ.

7. Даны вектора , , , . Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение.

Сначала определим координаты векторов и :

,

.

Тогда смешанное произведение векторов :

Ответ.

8. Для треугольника с вершинами , , найти:

а) уравнение стороны ;

б) длину высоты ;

в) уравнение высоты .

Решение.

а) Уравнение стороны найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

б) Высота – это перпендикуляр к стороне .

Тогда длина высоты ­ это расстояние от точки до прямой : , которое можно вычислить по формуле:

.

в) Высота – это прямая, перпендикулярная прямой , проходящая через точку . Для этого найдем уравнение прямой по формуле:

,

,

,

,

,

,

.

Угловой коэффициент прямой равен , поэтому угловой коэффициент перпендикуляра будет равен .

Уравнение перпендикуляра найдем по формуле: ,

,

,

,

,

.

Ответ: а) : , б) ; в) .

9. Даны комплексные числа и .

а) Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

б) Вычислить корень .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме:

,

то есть . Тогда .

При получим:

.

При получим:

.

При получим:

.

Ответ:

, , .

Задания контрольной работы

1. Даны матрицы и . Вычислить матрицу

Номер варианта	А	В

2*. Вычислить определитель четвертого порядка:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) .

3. Найти обратную матрицу:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) .

4. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера,

б)* методом Гаусса:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) 8) ,

9) 10) .

5. Вычислить скалярное произведение, если , , .

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) .

6.Даны вектора , , . Вычислить векторное произведение.

1) ;2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

7.Даны вектора , , , . Вычислить смешанное произведение векторов:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

8. Для треугольника с вершинами , , найти:

а) уравнение стороны ;

б) длину высоты ;

в) уравнение высоты .

Номер варианта				Номер варианта

9. а)

1) Даны комплексные числа , . Вычислить .

2) Даны комплексные числа и . Вычислить .

3) Даны комплексные числа и . Вычислить .

4) Даны комплексные числа и . Вычислить .

5) Даны комплексные числа и . Вычислить .

6) Даны комплексные числа и . Вычислить .

7) Даны комплексные числа и . Вычислить .

8) Даны комплексные числа и . Вычислить .

9) Даны комплексные числа и . Вычислить .

10) Даны комплексные числа и . Вычислить .

б) * Извлечь корень из комплексного числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

Учебно-методическое обеспечение

Основная литература:

1. Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2014. – 479 с.

2. Шипачев, В. С. Высшая математика. Полный курс : учебник / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с.

3. Ячменев, Л. Т. Высшая математика [Электронный ресурс] : учебник / Л. Т. Ячменев. – М. : РИОР : Инфра-М, 2013. – 752 с. – Режим доступа : http://znanium.сom.

Дополнительная литература:

4. Виленкин, И. В. Высшая математика : [учеб. пособие] / И. В. Виленкин, В. М. Гробер, О. В. Гробер. – Ростов н/Д. : Феникс, 2011. – 302 с.

5. Журбенко, Л. Н. Математика в примерах и задачах : учеб. пособие / Л. Н. Журбенко. – М. : ИНФРА-М, 2009. – 373 с.

6. Лурье, И. Г. Высшая математика [Электронный ресурс] : практикум / И. Г. Лурье, Т. П. Фунтикова. – М. : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2013. – 160 с. – Режим доступа : http://znanium.сom.

7. Математика : учеб. пособие / Ю. М. Данилов, Л. Н. Журбенко, Г. А. Никонова [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2009. – 496 с.

8. Туганбаев, А. А. Задачи по высшей математике для психологов [Электронный ресурс] / А. А. Туганбаев. – 3-e изд., исправ. и доп. – М. : Флинта, 2011. – 320 с. – Режим доступа : http://znanium.сom.

9. Турецкий, В. Я. Математика и информатика : учебник / В. Я. Турецкий. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ИНФРА-М, 2012. – 558 с.

10. Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике : учеб. пособие / В. С. Шипачев. – 7-е изд., стер. – М. : Высшая школа, 2007. – 304 с.