Тема 2. Числовые последовательности

Тема 2. Числовые последовательности

Если каждому числу nиз натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие действительное число x_n, то множество действительных чисел x₁, x₂, …, x_n называется числовой последовательностью.

x₁, x₂, …, x_n - элементы последовательности

n – номер последовательности

обозначение: сокращенно: {x_n}

Арифметические действия над числовыми последовательностями

1. Произведение на постоянное число m

m{x_n}={m x x_n}={mx₁, mx₂, mx₃…mx_n}

2.Сумма {x_n}+{y_n}={x_n+y_n}={x₁+y₁, x₂+y₂, x_n+y_n}

3.Разность {x_n}-{y_n}={x_n-y_n}={x₁-y₁, x₂-y₂,…x_n-y_n}

4. Частное

При условии, что y_n¹0

Убывающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый предыдущий член больше последующего, т.е.

a_n+1 < a_n для всех n

{		}	a1 = 1,	a2 =		, a3 =		Если an+1 - an < 0, то убывающая
n			Если an+1 - an > 0, то возрастающая

Возрастающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый последующий член последовательности больше предыдущего, т.е.

a_n< a_n+1 для всех n

1.

{

}

т.к.

<

- убывающая

n2

(n+1)2

n2

2.

{

3n-1

}

an=

3n-1

an+1 =

3n+2

n

n

n+1

3n+2

–

3n-1

=

3n2+2n-(3n-1)(n+1)

=

>0

n+1

n

n(n+1)

n (n+1)

т.е. a_n+1 > a_n - возрастающая

Предел числовой последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности, если существует такое положительное число e, для которого выполняется условие:

ïx_n-aï<e, при этом последовательность {x_n} называется сходящейся.

Обозначение: lim x_n = a

Или: Число a называется пределом числовой последовательности, если

при n ® ¥ x_n® a

Если последовательность не имеет предела, она называется расходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n}= одному и тому же числу c, то c = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

3. Предел от суммы двух последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

lim (a_n± b_n) = lim a_n± lim b_n

^{n® ¥ n® ¥ n® ¥}

4. Предел произведения двух последовательностей равен произведениям этих последовательностей

lim a_nx b_n= lim a_nx lim b_n

^{n® ¥ n® ¥ n® ¥}

5. Предел частности двух последовательностей равен частному от пределов двух последовательностей

lim n® ¥	an	=	lim an n® ¥
bn	lim bn n® ¥

6. Предел произведения постоянной величины сна последовательность а_nравен произведению постоянной величины на предел этой последовательности

lim (с a_n) = c x lim a_n

^{n® ¥ n® ¥}

7. Предел постоянной величины равен самой этой величине.

lim c = c

^{n® ¥}

Пример:

lim n® ¥

8n - 3

=

lim n® ¥

8n

-

=

lim n® ¥

8 -

=

lim n® ¥

8 -

lim n® ¥

=

8 - 0

= -

n

n

n

n

13 -7n

-

7n

- 7

lim n® ¥

-

lim n® ¥

0 - 7

n

n

n

n

Тема 3.

Функции

Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x, соответствует одно или несколько определенных значений y.

При этом переменная x называется аргументом

Величина y зависит от величины x

Обозначение: y =¦(x) пример S=πR²

L=υt

Способы задания функций:

1. Табличный способ – функциональная зависимость записывается таблицей

2. Графический способ – состоит в изображении графика функции, т.е. множества точек (x, y) на плоскости

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами:

a) Явный способ y = x²

b) Неявный способ xy = 5 Þ

c) Параметрический способ x = cos t; y = sin t

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция y = ¦(x) называется четной, если для любых значений x из области определения, ¦(-x) =¦(x) и нечетной, если ¦(-x) = –¦(x)

Четная функция симметрична относительно оси OY.

Пример: (-x) ²= x² – функция четная; (-х) ³= –х³ – функция нечетная.

Четная функция симметрична относительно оси OY.

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Монотонность.

Функция ¦=¦(x) называется возрастающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция ¦=¦(x) называется убывающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

3. Ограниченность.

Функция ¦(x) называется ограниченной с двух сторон на промежутке x, если существует такое положительное число M>0, для которого всегда выполняется условие:

ç ¦(x) ç £ M для любого x принадлежащего множеству x

Пример y = sin x

Ограничена на всей числовой оси, çsin xç £ 1

¦(x) £ M - ограниченная сверху

Пример: у = - х² + 2

¦(x) ≥ m – ограниченная снизу

Пример: у = х² + 3

4. Периодичность.

Функция ¦(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых x из области определения функции выполняется условие: ¦ (x + Т) =¦(x)

Пример: y = sin x имеет период Т = 2p(выполняется условие периодичности)

Предел функции.

Число b называется пределом функции ¦(x), при x ® a ,если по мере того как x приближается a, значение ¦(x) неограниченно приближается к b.

lim ¦(x) = b

^{x ® a}

n

n = 1, 2, 3

Ноль (0) – предел последовательности

Непрерывность функции.

Определение 1: функция ¦(x) называется непрерывной в (·) x₀, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Определение 2: функция y = ¦(x) называется непрерывной, если выполняется условие lim Dy = 0

^{Dx ® 0}

D(дельта) – разность между новым и старым значением или D - приращение

D y = ¦ (x+Dx) - ¦(x) -приращение функции

Dx = (x+Dx) - x приращение аргумента D x

Определение 3: предел слева: lim ¦(x)

^{x ® x}₀ ^{– 0}

предел справа: lim ¦(x)

^{x ® x}₀ ^{+ 0}

Функция называется непрерывной в (·) x₀, если предел “слева” совпадает с пределом “справа” и равен значению функции в (·) x_0.

Функция ¦(x) называется разрывной в (·) x₀, если в этой точке не выполнено не одно из трех условий непрерывности (определение 1, 2, 3).

Замечательные пределы.

Асимптота.

Асимптотой называется прямая, к которой приближается точка графика функции при неограниченном удалении ее от начала координат.

Существует три вида асимптот:

1. вертикальная

2. горизонтальная

3. наклонная

Правила нахождения асимптот:

1. Вертикальная асимптота бывает в точках, где функция не существует (х ≠ х₀). Если хотя бы один из пределов функции: слева или справа, не существует, то прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой.

2.

, прямая тогда у = b

Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

является горизонтальной асимптотой

≠ 0

3. Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

и

тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой

Тема 4. Производная.

Производной функции y = ¦(x) в точке x₀ называется предел при D x ® 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует)

y¢ = lim D x ® 0	D y	= lim D x ® 0	¦ (x0 + Dx) -¦(x0)
D x	D x

Производная функции имеет несколько обозначений

y¢; ¦ ¢(x) ;	dy	;	d ¦(x)
dx	dx

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной.

Пусть функция y = ¦(x) определена и непрерывна на [a, b]

Пусть (·) M соответствует некоторому значению x₀, а (·) P значению x₀ +D x, где D x - приращение аргумента

Проведем через (·)M и (·)P прямую (секущую).

Ðj (D x) - угол между секущей и осью 0 x.

Касательной S к графику функции ¦(x) в (·)M называется предельное положение секущей MP при неограниченном приближении (·)P по графику к (·)M (или то же самое при D x ® 0)

tg j(Dx)=	NP	=	Dy	=	¦ (x0+Dx) - ¦ (x0)
MN	Dx	Dx

Т.к. при Dx ® 0 секущая MP переходит в касательную, то Ðj₀ – угол касательной с осью 0x.

lim tg j(Dx) = tg j₀

^{D x ® 0}

С другой стороны

lim tg j(Dx) = lim D x ® 0 D x ® 0	¦ (x0+ Dx) - ¦(x0)	= ¦¢(x0) Þ ¦¢(x0) = tg j0
Dx

Производная функции ¦¢(x) в (·)x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ¦(x) в точке M ( x₀ , ¦(x₀) ).

Уравнение касательнойy =¦(x₀) -¦¢(x₀)(x- x₀)

Физический смысл производной: скорость изменения функции в точке.

Функция ¦(x) называется дифференцируемой в (·)x₀, если её приращение Dy в этой точке можно представить в виде: Dy = A * Dx + a(Dx)* Dx

A - некоторое число, не зависящее от Dx,

a(Dx) – функция аргумента Dx, являющаяся бесконечно малой при Dx ® 0,

т.е. lim a(Dx) = 0

^{D x ® 0}

Значение производной функции в точке обозначают .

Дифференциалом dx независимой переменной х называют её приращение .

Дифференциалом называется .

Примечание: производная функции есть некоторая функция , произведенная (т.е. полученная по определенным правилам) из данной функции.

Правила дифференцирования

Пусть ¦(x) = U y(x) = V

1. C^¢ = 0, где C = const

2. [a ´ ¦(x)]¢ = a ´ ¦¢(x) – (постоянная a выносится за знак дифференциала)

[a ´ U]¢ = a ´ U¢

3. (U + V)¢ = U¢ + V¢ – (производная суммы равна сумме производных)

4. (U ´ V)¢ = U¢V + UV¢

5. (UVW)¢ = U¢VW + UV¢W + UVW¢

6.	(	U	)¢	=	U¢V - UV¢
V	V2

7. Производная степенной функции: y=xⁿ y¢ = n ´ x^n-1

8. Производная тригонометрических функций:

а) y = sin x y¢ = cos x

б) y = cos x y¢ = - sin x

в) y = tg x

y¢ =				x ¹	P	+ nP
cos2 x

г) y = ctg x

y¢ = -		x ¹ Pn
sin2 x

9. Производная логарифмической функции y = log_a x

y¢ =		´ loga e =
x	x ln a

10. Производная показательной функции y = a^x

y¢ = a^x ln a

y = e^x Þ y¢ = e^x

11. Производная сложной функции

Если y = ¦ ( g(x) ), то y¢(x)¢ = ¦¢(g) ´ g¢(x) или y = ¦(U) , где U = g(x) Þ

y¢ = ¦¢(U) ´ U¢

Пример нахождения производной:

y = ln(x³ + 1)

заменим (x³ + 1) новой переменной z, тогда y = ln z

Производная y¢ = (lnz)¢ z¢

(lnz)¢=

z¢ = (x³ + 1)¢ = = (x³)¢ + (1)¢ = 3x^3-1 + 0 = 3x²

y¢ =

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки а, причем производная .

Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при , т.е. если частное в точке а представляет неопределенность вида или , то , при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило применимо и для случая, когда . Раскрытие неопределенностей вида , , , , при помощи алгебраических преобразований и логарифмирования сводится к раскрытию неопределенностей вида и .

Замечание: правило Лопиталя применимо тогда, когда существует предел отношения производных. Если предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует, надо раскрывать неопределенности другим способом.

Производную от у = f(x) будем называть производной первого порядка; производную от первой производной называют второй производной (или производной второго порядка) от функции у = f(x) и обозначают или ; производную от производной второго порядка называют третьей производной и обозначают или и т.д.

Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается или .

Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция f(x) возрастает (убывает) в этом интервале.

Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться нулю.

тема 2. Числовые последовательности

Если каждому числу nиз натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие действительное число x_n, то множество действительных чисел x₁, x₂, …, x_n называется числовой последовательностью.

x₁, x₂, …, x_n - элементы последовательности

n – номер последовательности

обозначение: сокращенно: {x_n}