Элементы математического программирования

Задача 37. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

37.1. Элементы математического программирования - student2.ru 37.2. Элементы математического программирования - student2.ru

37.3. Элементы математического программирования - student2.ru 37.4. Элементы математического программирования - student2.ru

37.5. Элементы математического программирования - student2.ru 37.6. Элементы математического программирования - student2.ru

37.7. Элементы математического программирования - student2.ru 37.8. Элементы математического программирования - student2.ru

37.9. Элементы математического программирования - student2.ru 37.10 Элементы математического программирования - student2.ru

Задача 38.Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать материал только трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется Элементы математического программирования - student2.ru кг материала первого сорта, Элементы математического программирования - student2.ru кг материала второго сорта и Элементы математического программирования - student2.ru кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида Элементы математического программирования - student2.ru расходуется Элементы математического программирования - student2.ru кг материала первого сорта, Элементы математического программирования - student2.ru кг материала второго сорта, Элементы математического программирования - student2.ru кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта Элементы математического программирования - student2.ru кг, материала второго сорта Элементы математического программирования - student2.ru кг, материала третьего сорта Элементы математического программирования - student2.ru кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль Элементы математического программирования - student2.ru руб., продукции вида В прибыль составляет Элементы математического программирования - student2.ru руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.

38.1. Элементы математического программирования - student2.ru

38.2. Элементы математического программирования - student2.ru

38.3. Элементы математического программирования - student2.ru

38.4. Элементы математического программирования - student2.ru

38.5. Элементы математического программирования - student2.ru

38.6. Элементы математического программирования - student2.ru

38.7. Элементы математического программирования - student2.ru

38.8. Элементы математического программирования - student2.ru

38.9. Элементы математического программирования - student2.ru

38.10. Элементы математического программирования - student2.ru

Задача 39. Имеются три пункта поставки однородного груза Элементы математического программирования - student2.ru пять пунктов Элементы математического программирования - student2.ru потребления этого груза. На пунктах Элементы математического программирования - student2.ru находится груз соответственно в количестве Элементы математического программирования - student2.ru т. В пункты Элементы математического программирования - student2.ru требуется доставить соответственно Элементы математического программирования - student2.ru т груза.

Расстояние между пунктами потребления приведено в следующей матрице таблице:

Пункты поставки Пункты потребления
  Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru
Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru
Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru
Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

39.1. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.2. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.3. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.4. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.5. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.6. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.7. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.8. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.9. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

39.10. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

Решения типовых задач

Задача 1. Даны векторы Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы Элементы математического программирования - student2.ru образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора Элементы математического программирования - student2.ru в этом базисе.

Решение. Векторы Элементы математического программирования - student2.ru образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство Элементы математического программирования - student2.ru . Записывая Элементы математического программирования - student2.ru в виде векторов – столбцов, получим Элементы математического программирования - student2.ru . Задача свелась, таким образом, к решению системы Элементы математического программирования - student2.ru . Решим систему методом Гаусса. Элементы математического программирования - student2.ru . Итак, система приведена к виду Элементы математического программирования - student2.ru . Полученная система имеет единственное нулевое решение: Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. векторы Элементы математического программирования - student2.ru линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор Элементы математического программирования - student2.ru можно представить в виде Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. координаты вектора Элементы математического программирования - student2.ru в этом базисе Элементы математического программирования - student2.ru . Для отыскания координат вектора Элементы математического программирования - student2.ru решим систему линейных уравнений методом Гаусса: Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru .

Итак, система приведена к виду Элементы математического программирования - student2.ru .

Находим Элементы математического программирования - student2.ru . т.е. вектор Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 2. Даны векторы Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru . Показать, что векторы Элементы математического программирования - student2.ru образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора Элементы математического программирования - student2.ru в этом базисе.

Решение. Векторы Элементы математического программирования - student2.ru образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство Элементы математического программирования - student2.ru . Записывая Элементы математического программирования - student2.ru в виде векторов – столбцов, получим Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача свелась, таким образом, к решению системы

Элементы математического программирования - student2.ru

Решим систему методом Гаусса.

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru . Итак, система приведена к виду Элементы математического программирования - student2.ru .

Полученная система имеет единственное нулевое решение: Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. векторы Элементы математического программирования - student2.ru линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор Элементы математического программирования - student2.ru можно представить в виде Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. координаты вектора Элементы математического программирования - student2.ru в этом базисе Элементы математического программирования - student2.ru . Для отыскания координат вектора Элементы математического программирования - student2.ru решим систему линейных уравнений методом Гаусса: Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru .

Итак, система приведена к виду Элементы математического программирования - student2.ru .

Находим Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. вектор Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 3.Даны вершины треугольника Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru . Найти: 1) длину стороны Элементы математического программирования - student2.ru ; 2) внутренний угол Элементы математического программирования - student2.ru в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину Элементы математического программирования - student2.ru ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину Элементы математического программирования - student2.ru ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник Элементы математического программирования - student2.ru

Решение. Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

1) Длину стороны Элементы математического программирования - student2.ru (длина вектора Элементы математического программирования - student2.ru ) находим как расстояние между двумя точками плоскости Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru .

Поэтому Элементы математического программирования - student2.ru

2) Угол Элементы математического программирования - student2.ru – это угол между векторами Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru . Координаты этих векторов: Элементы математического программирования - student2.ru , Элементы математического программирования - student2.ru . Таким образом Элементы математического программирования - student2.ru .

Таким образом, получаем Элементы математического программирования - student2.ru

3) Составим уравнение стороны Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru , или Элементы математического программирования - student2.ru . Угловой коэффициент стороны Элементы математического программирования - student2.ru равен Элементы математического программирования - student2.ru ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru , равен Элементы математического программирования - student2.ru . Уравнение этой высоты имеет вид Элементы математического программирования - student2.ru , получаем Элементы математического программирования - student2.ru , или Элементы математического программирования - student2.ru .

4) Пусть точка М середина стороны Элементы математического программирования - student2.ru . Найдем ее координаты:

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru т. Элементы математического программирования - student2.ru .

Уравнение медианы Элементы математического программирования - student2.ru находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: Элементы математического программирования - student2.ru , получим Элементы математического программирования - student2.ru .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника Элементы математического программирования - student2.ru . Например, выберем высоту, проведенную из вершины Элементы математического программирования - student2.ru . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru .

Угловой коэффициент стороны Элементы математического программирования - student2.ru равен Элементы математического программирования - student2.ru ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru , равен Элементы математического программирования - student2.ru . Уравнение этой высоты имеет вид Элементы математического программирования - student2.ru , получаем Элементы математического программирования - student2.ru , или Элементы математического программирования - student2.ru . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений Элементы математического программирования - student2.ru ; Элементы математического программирования - student2.ru . Таким образом точка пересечения высот треугольника Элементы математического программирования - student2.ru имеет координаты Элементы математического программирования - student2.ru

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru по формуле расстояния от точки Элементы математического программирования - student2.ru до прямой Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru . Таким образом

Элементы математического программирования - student2.ru

7) Стороны треугольника Элементы математического программирования - student2.ru заданы уравнениями прямых:

Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru ; (см. пункт 3).

Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru ; (см. пункт 5).

Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru ; Элементы математического программирования - student2.ru ; Элементы математического программирования - student2.ru .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника Элементы математического программирования - student2.ru лежит выше прямой Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. в полуплоскости, которая задается неравенством: Элементы математического программирования - student2.ru . Прямая Элементы математического программирования - student2.ru делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: Элементы математического программирования - student2.ru . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая Элементы математического программирования - student2.ru , выбираем ту, которая задается неравенством: Элементы математического программирования - student2.ru .

Таким образом, область треугольника Элементы математического программирования - student2.ru , определяется системой неравенств: Элементы математического программирования - student2.ru

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru . Найти:

1) длину ребра Элементы математического программирования - student2.ru ;

2) угол между ребрами Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru ;

3) угол между ребром Элементы математического программирования - student2.ru и гранью Элементы математического программирования - student2.ru ;

4) площадь грани Элементы математического программирования - student2.ru ;

5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой Элементы математического программирования - student2.ru ;

7) уравнение плоскости Элементы математического программирования - student2.ru ;

Элементы математического программирования - student2.ru 8) уравнение высоты, опущенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru на грань Элементы математического программирования - student2.ru . Сделать чертеж.

Элементы математического программирования - student2.ru
Решение.

 
  Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru

1) Длина ребра Элементы математического программирования - student2.ru есть длина вектора Элементы математического программирования - student2.ru , координаты которого Элементы математического программирования - student2.ru Т.к. длина вектора Элементы математического программирования - student2.ru находится по формуле Элементы математического программирования - student2.ru , то Элементы математического программирования - student2.ru .

2) Угол Элементы математического программирования - student2.ru между ребрами Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru есть угол между векторами

Элементы математического программирования - student2.ru =(-1,5,1) и Элементы математического программирования - student2.ru =(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому Элементы математического программирования - student2.ru

Отсюда Элементы математического программирования - student2.ru

3) Обозначим угол между ребром Элементы математического программирования - student2.ru и гранью Элементы математического программирования - student2.ru через Элементы математического программирования - student2.ru , тогда Элементы математического программирования - student2.ru , где Элементы математического программирования - student2.ru – угол между вектором Элементы математического программирования - student2.ru =(-2;3;9) и нормальным вектором Элементы математического программирования - student2.ru плоскости Элементы математического программирования - student2.ru , которым является, например, векторное произведение векторов Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru

Т.к. векторное произведение векторов Элементы математического программирования - student2.ru =( Элементы математического программирования - student2.ru ) и Элементы математического программирования - student2.ru находится по формуле Элементы математического программирования - student2.ru , то Элементы математического программирования - student2.ru . Итак, Элементы математического программирования - student2.ru . Найдем теперь угол Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru значит

Элементы математического программирования - student2.ru или Элементы математического программирования - student2.ru

4) Т.к. длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S грани Элементы математического программирования - student2.ru (площадь треугольника) найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru как на сторонах, т.е. как половину длины векторного произведения этих векторов.

Т.к. Элементы математического программирования - student2.ru (см. пункт 3), то

Элементы математического программирования - student2.ru

5) Т.к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах Элементы математического программирования - student2.ru , находится по формуле Элементы математического программирования - student2.ru , где Элементы математического программирования - student2.ru - смешанное произведение векторов Элементы математического программирования - student2.ru , то

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru . Найдем смешанное произведение векторов

Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru по формуле

Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru (определитель вычислен по схеме треугольников). Итак, Элементы математического программирования - student2.ru .

6) Т.к. уравнение прямой, проходящей через точку Элементы математического программирования - student2.ru параллельно вектору Элементы математического программирования - student2.ru имеет вид Элементы математического программирования - student2.ru , то уравнение прямой Элементы математического программирования - student2.ru найдем как уравнение прямой, проходящей через точку Элементы математического программирования - student2.ru в направлении вектора Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru .

7) Т.к. уравнение плоскости, проходящей через точку Элементы математического программирования - student2.ru перпендикулярно вектору Элементы математического программирования - student2.ru имеет вид Элементы математического программирования - student2.ru ( Элементы математического программирования - student2.ru нормальный вектор плоскости), то уравнение плоскости Элементы математического программирования - student2.ru найдем как уравнение плоскости, проходящей через точку Элементы математического программирования - student2.ru с нормальным вектором Элементы математического программирования - student2.ru (см. пункт 3):

Элементы математического программирования - student2.ru или Элементы математического программирования - student2.ru

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины Элементы математического программирования - student2.ru на грань Элементы математического программирования - student2.ru , найдем как уравнение прямой, проходящей через точку Элементы математического программирования - student2.ru в направлении вектора Элементы математического программирования - student2.ru -нормального вектора плоскости Элементы математического программирования - student2.ru (см. пункт 3): Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице Элементы математического программирования - student2.ru . Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru , значит обратная матрица Элементы математического программирования - student2.ru существует. Найдем матрицу Элементы математического программирования - student2.ru , транспонированную к Элементы математического программирования - student2.ru : Элементы математического программирования - student2.ru . Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы Элементы математического программирования - student2.ru и составим из них присоединенную матрицу Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru .

Найдем обратную матрицу Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru .

Проверка:

Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Элементы математического программирования - student2.ru

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru ~ Элементы математического программирования - student2.ru ~ Элементы математического программирования - student2.ru ~ Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru т.е. по теореме Кронекера–Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу Элементы математического программирования - student2.ru приведем к диагональному виду:

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru тиии Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru
Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

Вычислим обратную матрицу Элементы математического программирования - student2.ru . Определитель матрицы А Элементы математического программирования - student2.ru , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу Элементы математического программирования - student2.ru , транспонируем ее Элементы математического программирования - student2.ru и находим обратную матрицу Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

= Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru .

Ответ: Элементы математического программирования - student2.ru

Задача 7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) Элементы математического программирования - student2.ru ; б) Элементы математического программирования - student2.ru ; в) Элементы математического программирования - student2.ru ; г) Элементы математического программирования - student2.ru .

Решение. а) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на Элементы математического программирования - student2.ru ):

Элементы математического программирования - student2.ru . Здесь учитывалось стремление к нулю дробей Элементы математического программирования - student2.ru как обратных к бесконечно большим функциям.

б) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru умножим и разделим на выражение, сопряженное числителю, т.е. на Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru =

Элементы математического программирования - student2.ru .

Использовалась формула Элементы математического программирования - student2.ru .

в) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru при Элементы математического программирования - student2.ru и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

Элементы математического программирования - student2.ru .

г) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru =

Элементы математического программирования - student2.ru .

Здесь бесконечно малой величиной Элементы математического программирования - student2.ru является выражение Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 8. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) Элементы математического программирования - student2.ru при а) Элементы математического программирования - student2.ru ; б) Элементы математического программирования - student2.ru ; в) Элементы математического программирования - student2.ru ;

2) Элементы математического программирования - student2.ru ; 3) Элементы математического программирования - student2.ru ; 4) Элементы математического программирования - student2.ru .

Решение. 1) а) Элементы математического программирования - student2.ru .

б) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru разложим числитель и знаменатель на множители:

Элементы математического программирования - student2.ru .

в) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на Элементы математического программирования - student2.ru ):

Элементы математического программирования - student2.ru . Здесь учитывалось стремление к нулю дробей Элементы математического программирования - student2.ru , как обратных к бесконечно большим функциям.

2) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru умножим и разделим на выражение, сопряженное знаменателю до разности квадратов

Элементы математического программирования - student2.ru , т.е. на Элементы математического программирования - student2.ru :

Элементы математического программирования - student2.ru =

Элементы математического программирования - student2.ru

3) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru при Элементы математического программирования - student2.ru и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

Элементы математического программирования - student2.ru .

4) Для раскрытия неопределенности Элементы математического программирования - student2.ru преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru Здесь бесконечно малой величиной Элементы математического программирования - student2.ru является выражение Элементы математического программирования - student2.ru .

Задача 9. Найти точки разрыва функции Элементы математического программирования - student2.ru

Решение. Так как у данной функции нет точек, в которых она неопределенна, то точками разрыва могут быть либо нули знаменателя, либо точки в которых происходит смена аналитических выражений. В данном случае только точки Элементы математического программирования - student2.ru и Элементы математического программирования - student2.ru (в остальных точках данная функция непрерывна).

Выясним будет ли Элементы математического программирования - student2.ru точкой разрыва данной функции. Для этого найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в данной точке:

Элементы математического программирования - student2.ru .

Так как Элементы математического программирования - student2.ru , то Элементы математического программирования - student2.ru – точка разрыва, причем первого рода, поскольку оба односторонних предела конечные. Этот разрыв не устраним, т.к.

Элементы математического программирования - student2.ru .

Точка Элементы математического программирования - student2.ru есть точка разрыва данной функции второго рода, т.к.

Элементы математического программирования - student2.ru .

В данном случае Элементы математического программирования - student2.ru можно не вычислять.

Ответ: Элементы математического программирования - student2.ru – точка разрыва первого рода,

Элементы математического программирования - student2.ru – точка разрыва второго рода.

Задача 10

1) Найти производную функции Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru

2) Найти производную функции Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru

3) Найти производную функции: Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

4) Найти производную функции: Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

5) Найти производную функции: Элементы математического программирования - student2.ru .

Элементы математического программирования - student2.ru

Задача 11. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию Элементы математического программирования - student2.ru и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение

1) Область определения функции: Элементы математического программирования - student2.ru пересечение оси 0х в точке (1;0), а оси 0у - (0;-1); Элементы математического программирования - student2.ru

2) Элементы математического программирования - student2.ru точка разрыва;

3) Из 2) следует, что Элементы математического программирования - student2.ru вертикальная асимптота;

Находим наклонную асимптоту:

Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru – наклонная асимптота при Элементы математического программирования - student2.ru

4) Элементы математического программирования - student2.ru = Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru при Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru (возрастает)

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru (убывает)

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru (возрастает)

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru (возрастает)

5) Из предыдущего Элементы математического программирования - student2.ru точка максимума,

Элементы математического программирования - student2.ru - max;

6) Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru при Элементы математического программирования - student2.ru ;

Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru Элементы математического программирования - student2.ru При Элементы математического программирования - student2.ru

Элементы математического программирования - student2.ru абсцисса точки перегиба, Элементы математического программирования - student2.ru .

Результаты исследования внесем в следующую таблицу

Наши рекомендации

х Элементы математического программирования - student2.ru -5 (-5;-1) (-1;1)