Уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть в уравнении

y¢ = f ( x, y )

функция f ( x, y ) может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной х или у :

f (x, y) = f ₁(x) f ₂(у)

или в уравнении

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0

коэффициенты при dx и dy представляются в виде M(x, y) = M₁(x) M₂(у), N (x, y) = N₁(x) N₂(у). Путем деления соответственно на f ₂(у) и на

N₁(x) M₂(у) эти уравнения приводятся соответственно к виду

f ₁(x) dx = dy, dx = – dy .

Интегрируя левые части этих уравнений по х, а правые по у, приходим в каждом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.

Пример 1.Решить задачу Коши = k (a – x) ( b – x), x(0) = 0,

полученную в примере составления дифференциального уравнения в задании с практической задачей.

• Исходное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными:

= k dt.

Преобразуем полученное уравнение к виду

= k dt.

Интегрируем правую и левую части и получаем:

ln | x – a | – ln | x – b | = k (a – b) t + ln | C | => = C e ^{k (a – b) t} .

Из начальных условий (x(0) = 0 ) имеем: С = , поэтому

= e ^{k (a – b) t} ,

откуда x ( t ) = a b .

Пример 2.Решить уравнение = .

• Разделяем переменные (3y² + 1) dy = 2x dx. Интегрируем:

=

и получаем общий интеграл уравнения у³ + у – х² = С .

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным,

если его можно привести к виду

y¢ = f (5)

или к виду

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0, (6)

где M ( x, y ) и N ( x, y ) – однородные функции одного порядка, т.е. существует такое k Z, что M ( t x, t y ) = t ^k M ( x, y ) и N ( t x, t y ) = t ^k N ( x, y ).

С помощью подстановки = u(x) (y = xu => y¢ = u + x u¢) однородные уравнения (5) и (6) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 3.Решить уравнение y¢ = + cos .

• Положим = u или y = xu. Тогда y¢ = u + x u¢, что после подстановки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными

u + x u¢ = u + cos u или x = cos u.

Разделяем переменные

=

и интегрируем

tg = Cx.

Получаем общее решение

u = 2 arctg Cx – + 2πn, n Z.

Возвращаясь к функции у, находим:

у = х , n Z.

При делении на cos u были потеряны решения у = х , k Z.

Добавляя их к полученному семейству решений, окончательно находим

у = х , n Z; у = х , k Z.

Линейные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется

уравнение вида

y¢ + p(x) y = q(x), (7)

где p(x) и q(x) – заданные и непрерывные на некотором промежутке функции.

Существует несколько методов интегрирования уравнения (7). Рассмотрим самый распространенный из них – метод Бернулли, называемый «методом u на v». Суть метода в том, что решение этого уравнения ищется в виде произведения

у = u v, (8)

где u = u(x), v = v (x) – неизвестные функции х, причем одна из этих функций произвольна (но не равна тождественно нулю).

Подставляя решение у = u v и его производную у¢ = u¢ v + u v¢ в уравнение (7), получим

u¢ v + u v¢ + p(x) u v = q(x) или u¢ v + u (v¢ + p(x) v) = q(x). (9)

Пользуясь произвольностью в выборе функции v (x), выберем ее так, чтобы выражение в скобках стало равным нулю

v¢ + p(x) v = 0. (10)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и подставив выражение для v в (9), получим следующее уравнение относительно u

u¢ v = q(x). (11)

Решаем это уравнение, находим u = u(x,C). Таким образом, общее решение линейного уравнения (7) у = u(x,C) v.

Пример 4. Найти частное решение дифференциального

уравнения (решить задачу Коши) у¢ = – с начальными условиями у (1) = 1.

• Это линейное уравнение вида у¢ + p(x) y = q (x), в котором p(x) = – , q (x) = – . Общее решение ищем в виде y = uv. Тогда y = u¢v + uv¢ . Имеем:

u¢v + uv¢ – = – => u¢v + u = – .

Подберем функцию v так, чтобы v¢ – = 0; тогда u¢v = – . Интегрируя первое из этих уравнений, получим:

v¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.

Подставив полученное выражение для v во второе уравнение, получим:

u¢х = – => du = – dx .

Интегрируем обе части данного уравнения: = – dx.

Второй интеграл берем по частям:

– dx = = – = + + C.

Таким образом, u = + + C, а общее решение исходного уравнения

y = uv = x = ln x + 1 + Cx .

Подставим в это общее решение начальное условие:

1 = ln 1 + 1 + C ∙ 1 = 0 + 1 + C = 1 + C.

Отсюда получаем, что С = 0.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y = ln x + 1.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

y¢ + p(x) y = q(x) yⁿ, (12)

где n ≠ 0, n ≠ 1 (при n = 0 уравнение (12) является линейным, а при n = 1 – уравнением с разделяющимися переменными). Проинтегрировать уравнение Бернулли можно так же, как и линейное уравнение с помощью подстановки у = u v.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение у¢ = + .

• Это уравнение Бернулли. Полагая у = u v, приведем исходное уравнение к виду u¢v + u = .

Решаем первое уравнение v¢ – = 0:

v¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.

Второе уравнение примет вид u¢х = или u¢ = .

Решаем его: u¢ = => u du = dx => u² = 2x + C => u = . Перемножая u и v, получим общее решение исходного уравнения

у = х .