Метод разложения на множители левой части уравнения на множители
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
Примечание: часто разложить на множители удается, если применить формулы преобразования суммы или разности одноименных тригонометрических функций в произведение:
1. Решить уравнение:
Решение:
Применим формулу:
,
получим , отсюда
2. Решить уравнение:
Решение:
Применим формулу: ,
, тогда
|
Методические указания и примеры типового расчёта
Практической работы №7 по теме
«Векторы и координаты. Прямая и её уравнение на плоскости»
Теория
1) Длина стороны треугольника и длина медианы могут быть найдены по формуле расстояние между двумя точками:
Где А и В - координаты двух заданных точек.
2) Координаты вектора = (
3) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
, где .
4) Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.
Тогда из формул «деление отрезка в данном отношении»:
, где
При = 2 получим формулы для определения координат точки пересечения медиан треугольника:
5) Площадь треугольника находится по формуле:
Косинус угла при вершине треугольника можно найти исходя из определения скалярного произведения двух векторов:
, откуда
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат:
, где , - координаты векторов.
Из основного тригонометрического тождества
следует, что
6) Для составления уравнений сторон и медиан треугольника нужно применить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
, а затем, преобразовав это уравнение,
получить общее уравнение прямой
Координаты середины отрезка находят по формулам (при :
7) Для составления высоты нужно применить уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором :
8) Для нахождения длины высоты можно применить формулу: расстояние от точки до прямой:
, где - координаты точки;
- общее уравнение прямой.
Пример 1: Дан c вершинами , , .
Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Длины его медиан; 3) Координаты центра тяжести; 4) Площадь треугольника; 5) Угол при вершине ; 6) Составить уравнения сторон треугольника; 7) составить уравнения медиан треугольника; 8) составить уравнение высоты , опущенной из вершины треугольника; 9) найти длину высоты . Сделать чертёж.
Решение:
1) Найдем длины сторон по формуле :
= 3 (ед.дл.);
= 8,25 (ед.дл.);
= = 7,69 (ед.дл.).
2)Найдем координаты середин сторон треугольника по формуле M
, ;
, ;
, .
Тогда длины медиан:
3) Координаты центра тяжести, т.е.координаты точки пересечения медиан треугольника, найти по формулам: , где =2:1=2, тогда
; .
Возьмём медиану : , , тогда
; ; значит, координаты центра тяжести треугольника:
4)Площадь найдем по формуле: .
Здесь =3, =
Найти .
Координаты векторов найдем по формуле = ( :
= = (0;-3);
= = (-8;-2).
Скалярное произведение векторов находим по формуле: .
Тогда, = 0 (-8)+ (-3) (-2)= 6
Значит, . Отсюда ,
Следовательно, (кв. ед. дл).
5) Найдем угол при вершине . Он заключен между векторами
, ,
Тогда arccos 0,242 .
6) Составим уравнение сторон ∆ . Применим уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: .
Сторона : (6;6), (6;3), тогда
; x-6=0, x=6 –общее уравнение стороны
Сторона : ,
отсюда -1(x+2)=8(y-4), -x-2=8y-32,
-x-2-8y+32=0, -x-8y+30=0, умножить обе части уравнения на (-1):
общее уравнение стороны
,
, отсюда – общее уравнение стороны .
7) Составим уравнение медиан ∆ :
Медиана : подставим координаты точки ), в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: =
= ,
,умножим обе части ур. на (-2):
общее уравнение медианы .
Медиана : ,
= отсюда - общее уравнение медианы
Медиана : ,
, отсюда - общее уравнение медианы
8) Для высоты опущенной из вершины треугольника, нормальнымвектором является вектор Найдем его координаты:
= =(-2-6; 4-3)=(-8;1)
Подставим координаты нормального вектора =(-8;1) и координаты точки в уравнении прямой с заданным нормальным вектором
А(x- )+B(y- )=0:
-8(x-6)+1(y-6)=0, отсюда-8x+y+42=0 , умножим части уравнения на (-1):
- общее уравнение высоты .
9) Длина высоты равна расстоянию от точки прямой , общее уравнение которой имеет видx+8y-30=0.Подставим эти данные вформулу нахождения расстояния от точки ( ; ) до прямой Ax+By+С=0:
d= , имеем d= = (ед.дл.)
Длину высоты N можно найти и другим способом. Найдем координаты точки , которая является точкой пересечения прямых N и .
Для этого решимсистему двух линейных уравнений:
, , =64+1=65 ,
= =336+30=366,
∆y= =240-42=198; по формулам Крамера: x=
y=
Итак , N (5,63;3,05).
Длину высоты N найдем по формуле "расстояние между двумя точками": |AB|= , тогда получим:
d=| N|=
Ответ: 1) ;
2) ; ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) уравнение стороны ;
уравнение стороны ;
уравнение стороны ;
7) уравнение медианы ;
уравнение медианы ;
уравнение медианы ;
8) уравнение высоты ;
9) d= .
Пример 2.Дано: АВС, А(6;5), В(1;-3), С(-4;2).
Составить:1)уравнение стороны ВС; 2)уравнение медианы AF; 3) Уравнение высоты СЕ. Найти: 4) угол между медианой AF и высотой СЕ.
Сделать чертеж.
Решение:
1) Составим уравнение стороны ВС, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:
, где В(1;-3), С(-4;2). Тогда
5(x-1)=-5(y+3),
5x-5=-5y+15,
5x-5+5y+15=0 :/5,
x+y+2=0 – общее уравнение стороны ВС.
2)Найдем координаты точки F- середины отрезка ВС по формуле середина отрезка:
где В(1;-3), С(-4;2).
, F(-1,5;-0,5).
Составим уравнение медианы AF, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:
, где A(6;5), F(-1,5;-0,5). Тогда
,
,
-5,5⋅(x-6)=-7,5(y-5),
-5,5x+33=-7,5y+37,5,
-5,5x+33+7,5y-37,5=0,
-5,5x+7,5y-4,5=0⋅/-2
11x-15y+9=0-общее уравнение медианы AF
3) Составим уравнение высоты СЕ треугольника, применим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальном вектором:
А⋅(x-x0)+B⋅(y-y0)=0, где заданной точкой является точка С(-4;2).
Нормальным вектором для высоты СЕ является вектор .
Найдем его координаты:
= =
= =(1-6;-3-5)
= (-5;-8), значит A= -5; В= -8. Тогда получим
-5⋅(x-(-4))+(-8)⋅(y-2)=0,
-5⋅(х+4)-8⋅(у-2)=0,
-5x -20-8y+16=0,
-5x-8y-4=0⋅/-1
5x+8y+4=0 – общее уравнение высоты СЕ.
4) Чтобы найти угол между медианой AF и СЕ, нужно сначала перевести их уравнения из общего уравнения прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом k:
AF: 11x – 15y + 9 =0, отсюда:
-15y=-11x-9 :/-15
у = ,
у = , k1 = - угловой коэффициент медианы AF.
Для СЕ:
5x +8y+4=0, отсюда
8y=-5x-4 :/8
y= , k2= - угловой коэффициент высоты CE.
Находим угол по формуле:
k1= , k2=
Ответ: 1) х+у+2=0; 2) 11х-15у+9=0; 3) 5х+8у+4=0; 4) .
Методические указания и примеры типового расчёта