Метод разложения на множители

Пример 1. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru .

Решение

Преобразуем уравнение. Применим формулу:

Метод разложения на множители - student2.ru .

Получим уравнение: Метод разложения на множители - student2.ru .

Это уравнение решим разложением на множители: Метод разложения на множители - student2.ru .

Получим совокупность уравнений:

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru .

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru .

Пример 2. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru

Решение

Преобразуем уравнение: Метод разложения на множители - student2.ru Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru - решений не имеет.

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru .

Пример 3. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru

Решение

Преобразуем уравнение. Применим формулы:

Метод разложения на множители - student2.ru и Метод разложения на множители - student2.ru .

Получим уравнение: Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru .

Получим совокупность двух уравнений:

(1) Метод разложения на множители - student2.ru и (2) Метод разложения на множители - student2.ru .

Уравнение (1) Метод разложения на множители - student2.ru является однородным. В нем Метод разложения на множители - student2.ru . В самом деле, если допустить противное, т. е., что Метод разложения на множители - student2.ru , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и Метод разложения на множители - student2.ru , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество Метод разложения на множители - student2.ru ). Итак, Метод разложения на множители - student2.ru .

Разделим обе части уравнения (1) на Метод разложения на множители - student2.ru , получим Метод разложения на множители - student2.ru Метод разложения на множители - student2.ru .

Решим второе уравнение: Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru .

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru , Метод разложения на множители - student2.ru .

Пример 4. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru .

Решение

Преобразуем уравнение.

Метод разложения на множители - student2.ru

Уравнение примет вид:

Метод разложения на множители - student2.ru Метод разложения на множители - student2.ru .

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Метод разложения на множители - student2.ru

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно: Метод разложения на множители - student2.ru - это значит, что при четных значениях k из множества корней Метод разложения на множители - student2.ru получаются корни Метод разложения на множители - student2.ru , значит, Метод разложения на множители - student2.ru являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения Метод разложения на множители - student2.ru .

Метод разложения на множители - student2.ru , т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней Метод разложения на множители - student2.ru получаются корни Метод разложения на множители - student2.ru , следовательно, Метод разложения на множители - student2.ru - являются общими решениями трех полученных результатов.

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru .

Пример 5. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru .

Решение

Преобразуем уравнение Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru

Пример 6. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru

Решение

Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение Метод разложения на множители - student2.ru тогда уравнение примет вид

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru - это уравнение не имеет решений, так как Метод разложения на множители - student2.ru

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru .

Пример 7. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru .

Решение

I-й способ

Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно Метод разложения на множители - student2.ru и Метод разложения на множители - student2.ru . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.

Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: Метод разложения на множители - student2.ru .

Метод разложения на множители - student2.ru , а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

II-й способ

Преобразуем уравнение. Перенесем 25 из правой части в левую и сгруппируем с первым членом, получим: Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru .

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Метод разложения на множители - student2.ru

Решая первое уравнение, находим: Метод разложения на множители - student2.ru .

Второе уравнение является однородным первой степени, Метод разложения на множители - student2.ru

Если допустить, что Метод разложения на множители - student2.ru тогда подставив это значение в уравнение, получаем: Метод разложения на множители - student2.ru . Но одновременно Метод разложения на множители - student2.ru и Метод разложения на множители - student2.ru не могут равняться нулю. Итак, Метод разложения на множители - student2.ru Разделим на него обе части уравнения, получим:

Метод разложения на множители - student2.ru

Ответ: Метод разложения на множители - student2.ru , Метод разложения на множители - student2.ru

Пример 8. Решите уравнение Метод разложения на множители - student2.ru

Решение

Область допустимых значений переменной: Метод разложения на множители - student2.ru .

Преобразуем уравнение:

Метод разложения на множители - student2.ru

Метод разложения на множители - student2.ru

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Метод разложения на множители - student2.ru

Наши рекомендации