Линейная зависимость и независимость векторов.

Рассмотрим векторы х₁,х₂,…,х_n линейного пространства V. Вектор у=a₁х₁+ a₂х₂ + …+a_nх_n, где a₁,a₂,…, a_n ÎR, называется линейной комбинацией векторовх₁,х₂,…,х_n, а числа a₁,a₂,…, a_n ─ коэффициентами этой линейной комбинацией.Система векторов х₁,х₂,…,х_n называется линейно независимой,если равенство

a₁х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0 (1)

выполняется только при a₁ = a₂ = … = a_n = 0. Если же существуют числа a₁,a₂,…, a_n не все равные нулю, при которых выполняется равенство (1), то векторы х₁,х₂,…,х_n называются линейно зависимыми.

Из определения нетрудно получить следующие свойства:

1) Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2) Система из одного нулевого вектора линейно независима.

3) Если k из n векторов линейно зависимы, то и вся система из n векторов линейно зависима.

4) Если из системы х₁,х₂,…,х_n линейно независимых векторов отбросить Ã векторов (Ã<n), то оставшиеся векторы также будут линейно независимы.

5) Если в системе векторов имеются векторы х_i и х_j такие, что х_i = ax_j для aÎR, то вся система векторов линейно зависима.

В частности, из свойства 5 следует, что в линейном пространстве R³ любая система векторов, содержащая коллинеарные векторы, будет линейно зависимой.

Теорема 1.Векторы х₁,х₂,…,х_n действительного линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Доказательство. Пусть векторы х₁,х₂,…,х_n линейно зависимы. Тогда существуют числа a₁,a₂,…, a_n не все равные нулю такие, что

a₁х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0 (2)

Пусть, например, a_k ¹ 0. Тогда a_kx_k = - a₁x₁ - … - a_k-1x_k-1 - a_k+1x_k+1 - … - a_nx_n и

x_k = - x₁ - … - x_k-1 - x_k+1 - … - x_n,

т.е. х_k ─ линейная комбинация всех остальных векторов.

Пусть теперь один их векторов, например х₁, является линейной комбинацией остальных векторов, т.е. х₁ = a₂х₂ + a₃х₃ + …+ a_nх_n. Тогда (-1)х₁ + a₂х₂ + …+ a_nх_n = 0. Это означает, что векторы х₁,х₂,…,х_n линейно зависимы.

Размерность и базис линейного пространства.

Определение.Число n называется размерностью линейного пространства V,если выполняются следующие условия:

1) в V существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов из V линейно зависима.

Размерность линейного пространства V обозначают dimV = n, то V называют n-мерным линейным пространством. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Итак, размерность линейного пространства ─ это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нём.

Базисомn-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.

Примеры базисов линейных пространств.

1) Базисом действительного пространства R³ является любая тройка некомпланарных векторов. Базис действительного линейного пространства R² ─ любые два неколлинеарных вектора.

2) Базисом n-мерного арифметического пространства Rⁿ является, например, система векторов

е₁ = (1,0,…,0), е₂ = (0,1,0,…,0), … , е_n = (0,…,0,1).

Математический анализ─ раздел математики, в котором изучаются функции. Основу математического анализа составляет дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов. Заслуга открытия дифференциального исчисления принадлежит английскому математику и физику Исааку Ньютону (1643 – 1727) и Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646 – 1716), немецкому математику и философу.

Понятие функции.

Понятие функции ─ одно из основных понятий современной математики.

Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов y. Если каждому элементу хÎΧ поставлен в соответствие единственный элемент уÎΥ, обозначаемый

у = f(x), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(x) со значениями в множестве Y.Элементы хÎΧ называются значениями аргумента, а элементы уÎΥ ─ значениями функции. Множество Х называется областью определения функции,множество всех значений функции ─ областью значений этой функции.

Употребляются следующие обозначения функции: у = f(x), y = F(x), y = Ф(х), у = φ(х) и т.п. Значение, которое функция у = f(x) принимает при х = а, обозначается f(a).

К традиционным основным способам задания функции относятся: аналитический, графический и табличный.

Аналитический способ задания функции ─ это задание функции с помощью формул. Например, у = 2х, у = lgx, у =

Функция заданная формулой у = f(x), правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.

Рассмотрим уравнение F(x;y)=0. Предположим, что существует непустое множество Х значений х таких, что при каждом х₀ÎΧ уравнение F(x₀;y) = 0 имеет действительные решения относительно у. обозначим одно из них через у₀. Сопоставляя таким образом каждому х₀ÎΧ элемент у₀, получим функцию у = у(х), определённую на множестве Х и такую, что F(x;y(x)) º 0 для всех хÎΧ. Функция у = у(ч), определённая таким образом, называется функцией, заданной неявноили неявной функцией.

Например, уравнение 3х + 2у – 5 = 0 неявно задаёт функцию у = − х + . Уравнение х² + у² = R² задаёт неявно две функции у = и у = − .

Табличный способ задания функции─ это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания функции являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ задания функции─ это способ задания функции при помощи графика. Графиком функцииу = f(x) называется множество точек (x;f(x)) плоскости хОу, где х принадлежит области определения функции. Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность.

Если у = f(u), u = φ(х) ─ функции своих аргументов, причём область определения функции у = f(u) содержит область значений функции u = φ(х) , то каждому х из области определения функции φ соответствует такое у, что у = f(u), где u = φ(х). Эта функция, определяемая соответствием

y = f(φ(x))

называется сложной функциейили композицией функцииφ и f. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin²x ─ сложная функция.

Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических функций в средней школе изучаются функции: степенная у = х^а (а = const), показательная у = а^х (а = const), логарифмическая у = log_ax (a = const). Все эти функции называются основными элементарными функциями. Элементарными функцияминазываются функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, функции у = lgsinx, y = x² + cosx, y = 3^{lgcosx + sinx} является элементарными.