Формулы сокращенного умножения

1. (a+ b)(a-b) = a2 - b2 2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 4. (a + b)( a2 - 2ab + b2) = a3 + b3 5. ( a - b)( a2 + 2ab + b2) = a3 - b3

Примеры:

Выполните действия:

Найти значение выражения при х=80:

9.(9х-3)(9х+3)-81х²+х-39 = 81х²-9-81х²+х-39 = х-48 =80-48=32

х=80

Из материалов ЕГЭ

Упростите данные выражения

Найдите значения данных выражений 1.(9х-16)(9х+16)-81х2+6х+30 при х=70 2.(5х-15)(5х+15)-25х2+10х-10 при х=130 3. 4. вычислите

1.3.4.Индивидуальные задания – ИЗ-3

Вариант 1	Вариант 2
8.	8.

Вариант-3 Выполните действия:

Вариант-4 Выполните действия:

Линейные уравнения и неравенства

Посредством уравнений, теорем я уйму всяческих решил проблем Чосер, поэт, Англия, XVI век.

Линейные уравнения

Уравнения – это равенства, содержащие неизвестные величины.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Уравнения бывают линейные, квадратные, кубические и т.д., т.е. классификация идет по показателю степени неизвестной величины.

Линейное уравнение – это уравнение 1 степени, т.е. уравнение, в котором неизвестное в 1 степени, оно имеет вид:

ах+в=0–линейное уравнение с одной переменной, (1) а, в – любые действительные числа.

Чтобы решить линейное уравнение, как правило, его надо преобразовать, привести к виду(1):

Действия, приводящие к виду (1):

· Раскрытие скобок

· Приведение подобных слагаемых

· Перенос слагаемых из одной части в другую (НЕ ЗАБЫВАЯ МЕНЯТЬ ЗНАК СЛАГАЕМЫХ!!!)

Самое «трудное» уравнение для студентов

☺*x=☼, x=

Примеры:

1. Простейшие

б)47-(3х-9)=110.

3х-9=47-110=-63, 3х=-63+9=-54, х= = - 18.

2. со скобками

0,6х-2,5(1+2х)=-0,4х+8,06.

0,6х-2,5-5х=-0,4х+8,06, 0,6х+0,4х-5х=8,06+2,5, -4х = 10,56,

х= -

3. Дробные

в)Неизвестное - в знаменателе!

Самостоятельно:

Решите уравнения

Задачи, решаемые с помощью уравнений

1. В одном мешке было 60 кг сахару, а в другом – 80 кг. Из второго мешка взяли сахару в 3 раза больше, чем из первого, и тогда в первом осталось сахару вдвое больше, чем во втором. Сколько кг сахару взяли из каждого мешка?

Решение

1.Пусть х – количество кг сахару, которое взято из первого мешка.

	Было	Взяли	Осталось
		х	60-х
		3х	80-3х

2.По условию: 60-х=2(80-3х), 60-х=160-6х, 5х=100, х=20

Ответ: из первого взяли 20 кг, из второго 60кг.

2.Из фирмы А курьер доставил донесение в фирму В за 35 минут. На обратном пути он увеличил скорость на 0,6км/ч и затратил на дорогу 30 минут. Определите расстояние между фирмами и скорость курьера туда и обратно.

Ответ: 2,1км, 3,6км/ч, 4,2км/ч.

Линейные неравенства

Линейные неравенствас одной переменой – это неравенства вида:

ax≥b или ax≤b, где х-неизвестная,

а и b –любые действительные числа.

Всякое значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства.

Решить неравенство это значит найти все решения.

Понятия больше и меньше возникли в связи с необходимостью сравнивать предметы, величины. Понятием неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III век до н.э.), занимаясь вычислением окружности длины, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых».

Ряд неравенств приводит в своем трактате «Начала» Евклид.

В «Математическом собрании» Папы Александрийского также использовались знаки неравенства. Однако, все рассуждения проводили словесно, опираясь чаще всего на геометрическую иллюстрацию. Современные знаки неравенств >, < появились лишь в XVII-XVIII веках. Их ввел английский математик Т.Гарриот (1560-1621). Знаки ≥, ≤ ввел французский ученый П.Бугер (1698-1758)

При решении линейных неравенств выполняются те же преобразования, что и при решении уравнений, но возникают некоторые особенности – сложности, которые надо иметь ввиду:

· Если неравенство умножается или делится на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный

· Решать неравенства можно методом интервалов, о котором подробно позже.

Примеры:

1.2х≥7+3х, 2х-3х≥7, -х≥7│*(-1), (знак неравенства меняется на противоположный) х≤-7.

2.1,5х≥18

3.- 4х≤17+6х

4.При каких значениях «а» выражение принимает отрицательные значения?

Условие означает, что должно выполняться неравенство: ˂0│*6,

3-3а-2а+14˂0 (почему знак неравенства не изменился?), -5а˂-17│*(-1), 5а˃17(почему знак неравенства изменился?), а˃17/5.

5. При каких значениях «х» выражение принимает положительные значения?

6.Решите двойное неравенство:

Или двойное неравенство можно записать в виде системы 2 неравенств:

Ответ: -23≤х≤13

7.

Самостоятельно:

1.4.4. Индивидуальные задания

(Номер варианта равен остатку от деления номера по списку на 6)

1 вариант	2 вариант
ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства	ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства
Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называется линейным? 3. Что значит - решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.21-(5х-11)=12 6.(х+17)*12=804 7.0,3х-1,5(0,2х+4)=⅔*х-8,02 Решите неравенство: 10.5(2-3х)-4(х-7)+3(1+4х)≤10	Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называется линейным? 3. Что значит - решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.3-(4+3х)-14=0 6.13*(4-х)=26 7.5(0,4х-1)-0,4х=-21 Решите неравенство: 10.(3-2х)*4+(х-2)*3-3(-х-2)≥-2
3 вариант	4 вариант
ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства	ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства
Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называетсялинейным? 3. Что значит - решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.3-4(х+2)-(7-2х)=6 6. (5-х)*4=-16 7.0,5х-3,5(4-3х)=⅜*х-2   Решите неравенство: 10.3(х-4)-2(8+3х)-2(-1-х)≤ -3	Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называется линейным ? 3. Что значит - решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.17-2(4х+9)-(5-11х)=-15 6.21*(5-13х)=-441 7.0,9х+4,5(1-2х)=-3,6 Решите неравенство: 10.2(5-х)- (-х+6)*3-5(2х+1)≥14
5 вариант	6 вариант
ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства	ИЗ-4: Линейные уравнения и неравенства
Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называется линейным? 3. Что значит - решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.1-(2х-7)-15=0 6.(х-5)*27=351 7.0,3х-2,5(0,1х-3)=- х+3,01 Решите неравенство: 10.(х-1)*3-(7х+9)*2-(3-х)*4≥-5	Ответьте на вопросы: 1.Что называется уравнением? 2.Какое уравнение называется линейным? 3. Что значит – решить уравнение? 4.Что называется корнем уравнения? 5.Какую особенность имеет решение неравенств? Решите уравнения: 5.23-2(х+4)-3(5-3х)=-35 6.-43(9х+2)=473 7.0,6х-2,5(1+2х)=-0,4х+8,04 Решите неравенство: 10.4(3-2х)-2(7+3х)-5(1-х)≤11

Из материалов ЕГЭ

Решите уравнения:

1.4-2х=-4х+5 2.5х-2(7+5х)=-4х-10 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Решите задачи:

1.Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где Т₁ – температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т₂ – температура холодильника. При какой минимальной температуре нагревателя Т₁ КПД двигателя будет не меньше 45%, если температура холодильника Т₂=275К ? Ответ выразите в градусах Кельвина. (500К)

Решение

(задача на решение линейного неравенства)

1. По условию КПД ≥45%. Это означает, что ≥45%. Это неравенство можно немного преобразовать: (1- )*100≥45 или с учетом Т₂=275К: 1- ≥0,45, ≤0,55, Т₁≥ , Т₁≥500К. Минимальное значение – 500К.

2. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где Т₁ – температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т₂ – температура холодильника. При какой минимальной температуре нагревателя Т₁ КПД двигателя будет не меньше 35%, если температура холодильника Т₂=260К? Ответ выразите в градусах Кельвина. (400К)

Метод интервалов

Метод интервалов – универсальный метод решения неравенств. Он может применяться в неравенствах, в которых правая часть равна 0, а левая представлена (или может быть представлена) в виде дроби или произведения, т.е. или Р(х)*Q(x)≤(≥)0

1.5.1.Алгоритм:

1.Найти нули числителя и знаменателя (или сомножителей), решив уравнения

2. Нанести их на числовую ось, отметить их кратность (если (х-2)³ =0, то

число 2-корень нечётной кратности, если (х-2)⁶ =0, то число 2-корень чётной кратности).

3. Вычислить знак левой части на каждом из полученных промежутков, начиная со знака + и дальше расставляя с учётом кратности корней:

1) если нуль чётной кратности, то не меняя знака

2) если нуль нечётной кратности, то чередуя знаки.

4. Выбрать промежутки, соответствующие знаку неравенства: “>” - “ +”

“<” - “ - “.

5. Записать ответ.

Замечания:

1 Р(х) и Q(x) следует разложить на множители вида (х-а)^к .

2. Если левая часть содержит множитель (а-х)^к, то следует его заменить множителем (х-а)^к с учётом кратности: т.е.(2-х)⁴=(х-2)⁴, .(2-х)³= - (х-2)³.

1.5.2.Примеры:

1.

+ - +

-5 2

3.Т.к. знак данного неравенства ˃, то выбираю промежутки, на которых знак +:

Ответ: (-∞;-5) и (2;+∞)

2.

3.

- + - +

-4 3 4

Ответ: (-4;3] (4;+∞)

3.х³-8х²-33х≥0

1. Разложу на множители левую часть: х( х²-8х-33)≥0, х(х+3)(х-11) ≥0.

2. Нули: х=0, х=-3, х=11

3.

- + - +

-3 0 11

Ответ: [-3;0] [11;+∞)

4.

1. Преобразую:

2. Нули: 11х-27=0, 11х=27,х=

х-6=0,х=6

3.

+ - +

6

Ответ: (-∞; ] (6;+∞)

Потренируйтесь!

5. (х-2)(х-3)2(х-4)3≥0   6. 7.
!!! 12.

1.5.3. Индивидуальные задания

(Номер варианта равен остатку от деления номера по списку на 6)

ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов
1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
Решите неравенства	Решите неравенства	Решите неравенства	Решите неравенства
ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов	ИЗ-5: Метод интервалов
5 вариант	6 вариант	3 вариант	4 вариант
Решите неравенства	Решите неравенства	Решите неравенства	Решите неравенства