Формулы сокращенного умножения
Пример 1
Преобразовать в дробь степень 
Решение
 Ответ.  | ||
| ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ |
| |
| 1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2 3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2 4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 | ||
Формулы сокращенного умножения
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочленна другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.
1. Квадрат суммы и квадрат разности:
Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)2.
Имеем:
(а + b)2 = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а2 + аЬ + аЬ + b2 = а2 + 2аЬ + b2.
Аналогично получаем:
(a - b)2 = (а-b)(а-b) = а2-аb-bа + b2 = а2- 2аb + b2.
Итак,
На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:
а) (Зх + 2)2;
б) ( 5а2 - 4b3)2
Решение.
а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2.
Получим:
(Зх + 2)2 = (Зх)2+ 2 • Зх • 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4.
б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли авыступает5а2, а в ролиb выступает 4b3. Получим:
(5а2-4b3)2= (5а2)2 - 2- 5a2 • 4b3 + (4b3)2= 25a4-40a2b3 + 16b6.
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b)2 = (а + b)2;
( b-a )2 = ( a-b )2.
Это следует из того, что (- а)2 = а2.
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.
Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле
712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + I)2= 902 + 2 • 90 • 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = (70 - I)2 = 702 - 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,
1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 852.
Имеем:
852 = (80 + 5)2 = 802 + 2• 80 • 5 + 52 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
652 = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)2. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)2 = а2 + b2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).
2. Разность квадратов
Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а2 - аb + bа - b2 = а2 - b2.
Итак
Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а2 - b2. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а2 - b2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.
Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - b2, значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это (a- b)2, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так: