Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона

Многочлены и рациональные дроби

Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются алгебраическими выражениями.

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются формулы сокращенного умножения:

– квадрат суммы;

– квадрат разности;

;

– разность квадратов;

– куб суммы;

– куб разности;

– сумма кубов;

– разность кубов.

Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой натуральный показатель:

Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона.

(1)

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биноминальными коэффициентами.

Биноминальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:

Показатель степени

(2)

Числа в строке с определенным номером n, n N, являются последовательными коэффициентами в формуле для данного n.

Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:

1) в разложении двучлена по формуле Ньютона содержится n+1 член;

2) в разложении показатель степени а убывает от n до 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;

3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;

4) биноминальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;

5) сумма биноминальных коэффициентов разложения равна 2ⁿ;

6) сумма биноминальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна .

Разложение выполняется по тем же правилам с учетом чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т.д.

Пример 1.Вычислить, используя формулы сокращенного умножения, значение

Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение приобретает вид:

Пример 2. Известно, что и . Квадратом какого натурального числа является значение – ?

Решение. Так как выражаем: . Далее получаем .

Если обозначить искомое число через , то

, т.е. . Поскольку , то в качестве ответа подходит .

Пример 3. Вычислить значение выражения наиболее рациональным способом:

при у=1,6, х= –1,4.

Решение:

Упростим выражение, используя формулы суммы кубов и разности квадратов

При y =1,6 и x = –1,4полученное выражение будет равно

Пример 4. Разложить по формуле бинома Ньютона.

Решение.

Используем формулу бинома Ньютона и треугольник Паскаля (2) (с учетом n=5).

Разложение будет иметь вид:

Пример 5.Упростить выражение , используя формулы сокращенного умножения, а затем вычислить его для .

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на и используем формулу (1). Получаем

.

Далее используем формулу разности кубов:

.

Если , то

.