Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.

Пусть G – замкнутая (содержит все свои точки) и ограниченная область.

Ф-я z=f(x,y) на этой области определена и ограничена.

Граница области G составлена из точек y_i=f_i(x) и x_i=f_i(y).

Введем понятие интегральной суммы:

1. Разобьем обл. G на n произвольных частей (G_i, i=1,n). G_i – частичная область. Полученные частичные области не имеют общих точек. DS_i, i=1,n – площадь частичной области.

В каждой частичной области выберем точку с координатами (α_I,β_I). Вычислим значение ф-и в этой точке (f(α_I,β_I)) и составим такую сумму:

n

(1) s=åf(α_I,β_I)DS_i

i=1

(1) – интегральная сумма ф-и f(x,y) в обл G.

d_I – диаметр области G_i

l - диаметр разбиения: l=maxd_I

Определение òò

Если интегральная сумма (1) при l®0 имеет предел, равный I, то этот предел называется òò от ф-и f(x,y) по области G и обозначается:

I=òòf(x,y)dxdy

G

f(x,y) – подынтегральная функция.

Если ò $, то говорят, что ф-я f(x,y) интегрируема по области G, G называют областью интегрирования; х,у – переменными интегрирования; dxdy– элементом площади.

Замечание. Условие огранич ф-ии z=f(x,y) явл необходим,но не достаточным.

Достат условие формулировки с исп-ем сумм Дарбу (кот полностью переносится аналогично в ф-лу).

Теорема1. Ф-ия f(x,y) непрерывная в замкнутой огран обл G,интегрир в обл G.

Теорема2. Ф-ия f(x,y) огран в замкнутой огран обл G и непрер в ней всюду,кроме точек …….. на конечном числе кривых явл графиками ф-ии y=f(x) и x=g(y),где f и g непрер и интегрир в этой обл.

Геометрический смысл òò

Пусть в пространстве дано тело Р, ограниченное:

1.Сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f(x,y)

2.Снизу – областью G

3.Сбоку – цилиндрической поверхностью.

Направляющей этой цилиндрической поверхности является область G, а образующими – прямые, || оси z.

Такое тело называется криволинейным цилиндром

Интегр сумма σ-это сумма объемов цилиндриков,в которой можно принять приближенно за тело Р,это приближенное равенство тем точнее,чем меньше область разбиения G на части,т е при переходе к пределу при l®0 мы получаем равенство

n

VP = limåf(α,β)DS_i.

l®0 i=1

Т.о. геометрический смысл òò:

òò от непрерывной, неотрицательной, ограниченной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Следствие: Если f(x,y) º1 для всех (x,y)?G,то I=òòf(x,y)dxdy =lim при λ→0 ∑f(α,β)* DS_i= limåDS_i = S_G.

l®0 i=1

50.Свойства òò.

1.òòkf(x,y)d'xd'y = kòòf(x,y)d'xd'y

2. òò(f(x,y) + g(x,y))d'xd'y = òòf(x,y)d'xd'y + òò_Gg(x,y)d'xd'y.

3. òòf(x,y)d'xd'y = òòf(x,y)d'xd'y + òòf(x,y)d'xd'y.

Теорема о среднем: Если ф-я f(x,y) непрерывна в области G, то в этой области $ точка с координатами (α_I,β_I), такая, что f(α_I,β_I)*S = òòf(x,y)d'xd'y, где S – площадь области G.

51. Теорема о переходе отòòк повторному для прямоугольной области.

Рассмотрим òò по некоторому прямоугольнику D' со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема: Пусть для ф-и f(x,y) в прямоугольной области D'={(x,y)|a£x£b; c£y£d'} $

òòf(x,y)d'xd'y.(1) D'

Пусть, кроме того, для каждого х из отрезка [а;b] $ определенный интеграл

d'

I(x)=òf(x,y)d'y.(2)

c b b d'

Тогда $ интеграл òI(x)d'x = òd'xòf(x,y)d'y, называемый

a a c

повторным, и справедливо равенство:

b d'

òòf(x,y)d'xd'y = òd'xòf(x,y)d'y.(3)

D' a c

Замечание: Если в теореме х и у поменять ролями, то будет доказано существование повторного интеграла

d' d' b

òI(y)d'y = òd'yòf(x,y)d'x

c c a

и справедлива формула

d' b

òòf(x,y)d'xd'y = òd'yòf(x,y)d'x. (8)

D' c a

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному.

52. Теорема о переходе от òò к повторному для криволинейной обл-ти.

Теорема. Пусть ф-я z=f(x,y) определена в области G={(x,y)|a£x£b; y₁(x)£y£y₂(x)}, где у₁(х) и у₂(х) – непрерывные ф-и, у₁(х)£у₂(х) для a£x£b.

Пусть, кроме того, $ двойной интеграл

òòf(x,y)d'xd'y и для каждого х из отрезка [a,b] существует

G

определенный интеграл

у₂(х)

òf(x,y)d'y = I(x).

у₁(х)

Тогда $ повторный интеграл:

b b у₂(х)

òI(x)d'x = òd'xòf(x,y)d'y

a a у₁(х)

и справедливо равенство

a у₂(х)

òòf(x,y)d'xd'y = òd'xòf(x,y)d'y (1)

G b у₁(х)

Замечание1.

Если в теореме х и у поменять ролями, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла:

d' d' x₂(y)

òI(y)d'y = òd'yòf(x,y)d'x

c c x₁(y)

и равенства:

d' x₂(y)

òòf(x,y)d'xd'y = òd'xòf(x,y)d'y

G c x₁(y)

53. Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.

Определение 1. Уравнение вида Р (х, у, у'} = О (1)

где х — независимая переменная', у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y', то оно принимает вид

У' =f(х, у} . (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относитель-но производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

dy/dx=f(x,y) или в виде /f(х, у) dх- dу = 0, являющемся част-ным случаем более общего уравнения -

Р (х, у)dх + Q (х, у) dу =О, (3)

где Р (х, у] и Q (х, у] — известные функции. Уравнение в симмет-ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-правны- Т. E каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры диф Ур вида 2 и 3

Решением диф Ур первоо порядка наз функция y=Ф(х), х э (а,в), которая при подстановке в Ур обращ его в верное тождество. Пример

График реш диф Ур на интегральной кривой.

Коши.Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение У' =f(х, у} (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-ствовании и единственности решения дифференциального уравне-ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15.1. (теорема Коши)**. Если функция f (х, y) и ее частная производная f'у (х, у) определены и непрерывны в некото-рой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя тoчка (X0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки су-ществует единственное решение уравнения у' =f(х, у), удовлетво-ряющее условиям:

у = у0 при х = .x0.(4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-известно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-нюю точку (х0; y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=Ф(у) принимает за-данное значение у0„ в заданной точке х0, называют начальными усло-виями решения и записывают обычно так:

у\x=xо = Уо. (5)

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С гео-метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через кот либо прох более одной инт кривой, либо не прох ни одной, наз особыми точками данного Ур.