Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
Рассмотрим функцию f(x) определенную в каждой точке сегмента [a,b], a<b
Def Будем говорить, что задано разбиение сегмента [a,b] если заданы точки х0, х1, …., х n, .
Такие что а= х0< х1< х 2<….< х n=b. { х n }- разбиение х n . Рассмотрим на сегменте [a,b] функцию f(x) принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {xk} построим d( х к;x к)= (1)
x кÎ[xk-1;xk] , полученное число называют интегральной суммой. Она зависит от способа разбиения Xk и от выбора точек x к Отрезки получающиеся в результате разбиения [xk-1;xk] называются частичными отрезками. D хк =хк-хк-1 – длина частичного отрезка
И тогда интегральную сумму (1) можно записать в виде d(хк;xк)= (2)
Диаметр разбиения:максимальная длина частичного отрезка называется диаметром разбиения и обозначается числом d. d=maxD хк
Геометрический смысл интегральных сумм:
F(x1)*Dx1=S прямоугольника 1
F(x2)*Dx2=S прямоугольника 2
f(x1)*Dx1+f(x2)*Dx2+…. f(xn)*Dxn=d( хк;xк)=S*
где S* площадь ступенчатой фигуры, т.е. интегральная сумма (2) равна S* Если мы устремим диаметр d к 0, S* будет стремится к площади криволинейной трапеции, т.е. фигурой ограниченной снизу сегментом [a,b], сверху неотрицательной функцией f(x), с боков прямыми x=a, x=b.
x
Xo=a (x1) (X1) (x2) (X2) (x k-1 ) (xk) xk (xn-1) xn ( b=xn)
Геом.смысл: s - сумма площадей прямоугольников с основаниями ÑХ1, ÑХ2,… Ñ Хn и высотами f (x1), f(x2)…f(xn).
S*= f(xk)* Ñ Хk. Т.о. интегральная сумма представляет собой
площадь ступенчатой фигуры. Но если d®0 (n ®¥), то
S* = f((xk ; Xk) = f(x)dx = S криволин. трапеции
Понятие определенного интеграла.
Def Если существует конечный предел I интегральных сумм s при l®0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= =
Def функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {sk} стремится к одному и тому же числу I.
Def Число I называется определенным интегралом от функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого e>0 существует такое d>0, что при l<d (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами DXi<d) независимо от выбора точек xI выполняется неравенство , или же для любого xiÎ[Xi-1, Xi]
Интегрируемость функции по Риману: Число I называется пределом интегральных сумм s, зависящих от (хк;xк) при d®0, если для любого положительного числа e, найдется соответствующее ему положительное число d, большее d, такое что для любого xк будет выполняться |d (хк;xк)-I|<e. "e>0)($d=d(e)>0)(d<d) "xk: |d (хк;xк)-I|<e Следует отметить, что существует только один предел s при d®0
I=
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если для этой функции на указанном сегменте существует I= при d®0
Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел
Следует отметить, что = =