Понятие производной функции, ее геометрический смысл.

Производной функции y’(x), f’(x) называетсяпредельное значение приращения функции к приращению аргумента

Геометрический смысл-tg угла наклона касательной к графику функции.

Правая и левая производные.

Правой(левой) производной функции y=f(x) называется правое(левое) предельное значение отношения приращения функции

F’(x+0) правая производная, F’(x-0) левая производная.

Дифференцируемость функции(определение. Теорема26).

Функция называется дифференцируемой в т. X, если ее приращение Δy ( в этой точке), соответствующее приращению аргумента Δx, равно Δy=A* Δx+o(Δx) не зависит от Δx.

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела этой точке конечную производную.

Необходимость-считается, что функция дифференцируема в точке x0. Надо доказать, что она имеет в этой точке производную. По определению дифференциала функции Δy= => =A+ , =A+ =A, y’(x0)=A. Δy0=y’(x0)+o( )

Достаточность-считается,что в т. x0 существует конечная производная. Надо доказать, что в x0 функция дифференцируема. По определению производной =f’(x), тогда – y’(x0)=α( = α( , =y’(x0)* +o(x)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции dy в точке x₀ называется главное приращение функции в этой точке dy=y’(x)*dx

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения частного(теорема27).

Пусть функции u(x) и g(x) дифференцируемы в точке x. Тогда сумма, разность, произведение, частное(при условии, что знаменатель ≠0 в точке x) этих функций также дифференцируемы. При этом справедливы формулы:

1. .

2. .

3. .

Дифференцирование обратной функции(теорема28)

Пусть функция y=f(x) дифф. в точке x₀ и пусть в окрестности этой точки y=f(x) имеет обратную функцию x=f^-1(y). Тогда обратная функция дифф. в точке y₀ =f(x₀)(соответствует т. X₀) и справедлива формула: (y₀)= =

Док-во. Возьмем некоторое приращение аргумента y, т.е. 0. Тогда соответствующее приращение (в силу строгой монотонности обратной функции). Производная обратной функции (y₀)= = =

Производные показательной и обратных тригонометрических функций.

1. y=a^x (a>0, a≠0, x (-∞, +∞)) x=log_ay обратная функция. y’=[a^x]_x’= = =ylna=a^xlna

2. y=arcsinx (x [-1, 1], y [ , ]) x=siny, y’=[arcsinx]’= = . Используя основное тригонометрическое тождество: sin²y+cos²y=1 => cosy=+- , cosy= , тк y [ , ]. = = . По аналогии ищутся другие производные.

3. Y=arctg x; (x (-∞, ∞), y ( , )), x=tg x. y’=[arctg x]’= =cos²y=(1+tg²y= )= = . [arctg x]’= .

Правило дифференцирования сложной функции(теорема29).

Рассмотрим сложную функцию вида y=f(g(x)). Пусть функция g(x) дифференцируема в точке x₀ , а функция f(g) дифференцируема в точке g₀=g(x). Тогда сложная функция y=f(g(x)) дифференцируема в точке x₀ , при этом справедлива формула * (без доказательства).

Логарифмическая производная.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x и положительна в ней. Тогда имеет смысл равенство ln y=ln f(x), (ln y)’=(ln(f(x)))’ => => y’=y(ln f(x))’; логарифмическая производная применяется при вычислении производной функции вида y=