Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Определение. График функции называют выпуклым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит под касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 6).
Определение. График функции называют вогнутым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит над касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 7).
Определение. Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной на другую, то есть пересекает свою касательную, называют точками перегиба (рис. 8).
Рис. 6. Рис. 7.
Рис. 8.
Теорема. Достаточный признак выпуклости или вогнутости функции в некоторой точке с абсциссой ( при условии, что при функция имеет непрерывную вторую производную) состоит в следующем: если , то график функции в этой точке выпуклый; если , то график функции в этой точке вогнутый.
Из достаточного признака выпуклости и вогнутости графика функции получаем необходимый признак наличия точек перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема. Достаточный признак наличия или отсутствия точки перегиба: если слева и справа от критической точки имеются такие промежутки и (где - некоторое положительное число), в каждом из которых сохраняет постоянный знак, то точка будет точкой перегиба, если знаки в этих промежутках разные, и не будет ею, если знаки в этих промежутках одинаковые.
Примерная схема построения графика функции
С учетом всего вышеописанного для исследования функции и дальнейшего построения графика следует придерживаться следующей схеме:
1. Область существования функции.
2. Симметрия графика функции (четность, нечетность).
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Использование первой производной: интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.
5. Использование второй производной: участки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.
6. Составление сводной таблицы результатов исследования.
7. Построение графика.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график
Решение.
1. Найдем область определения функции. Дробь определена, если знаменатель отличен от нуля, т. е.
; .
И так, .
2. Исследуем функцию на четность. Так как точка не входит в область определения функции, а точка принадлежит области определения функции, т. е. область определения рассматриваемой функции не симметрична относительно начала координат, то функция не является чётной и не является нечётной.
3. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат − с осью :
; ; .
и осью : , .
График функции пересекается с координатными осями в начале координат − точке .
4. Определим экстремумы и интервалы монотонности функции. Для этого найдём первую производную и решим уравнение ;
;
;
;
.
Функция возрастает при и убывает при .
Поскольку при переходе через точку первая производная меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума:
.,
а при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума:
Итак, − точка локального минимума, – точка локального максимума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого найдём вторую производную и решим уравнение :
Левая часть данного уравнения в нуль никогда не обращается точек перегиба нет.
Исследуем знак на промежутках :
;
.
График функции выпуклый вверх при ; вогнутый − при .
6. Составим сводную таблицу.
+ | – | Не сущ. | – | + | |||
– | -2 | – | Не сущ. | + | + | ||
Не сущ. | |||||||
max | min |
7. Постоим график.
Неопределенный интеграл
Ранее мы рассматривали способы нахождения производных функции, а также их применение к исследованию функций, что составляет основную задачу раздела высшей математики, называемого дифференциальным исчислением. Далее перейдем к рассмотрению основ интегрального исчисления, которое решает обратную задачу, а именно задачу нахождения функции по ее производной или дифференциалу.