Метод логарифмического дифференцирования.

Во многих случаях оказывается целесообразным прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма, а затем найти производную заданной функции. Такой прием называется методом логарифмического дифференцирования. Этот метод позволяет легко найти производную от сложной функции вида Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , где Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru и Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru есть функции зависящие от Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Пусть дана функция Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

1. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 4. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

2. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 5. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

3. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 6. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

Пример. Найти производную функции Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Применим метод логарифмического дифференцирования.

1. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 4. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

2. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 5. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

3. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru 6. Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

Дифференцирование логарифмической функции.

Дифференцирование логарифмической функции рассмотрим на примере.

Пусть дана функция Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru . Выполним некоторые преобразования, пользуясь общими правилами логарифмирования и свойствами логарифмов:

Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

Получим Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

Производные высших порядков

Производную Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru называют еще первой производной, или производной первого порядка, функции в отличие от так называемых производных высших порядков.

Производная Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru функции Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru в общем случае представляет собой некоторую новую функцию, которая в свою очередь тоже может быть дифференцируемой. Следовательно, можно найти производную и этой функции, представляющую собой производную от производной исходной функции и называемую второй производной, или производной второго порядка, исходной функции. Производную второго порядка принято обозначать Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Производную от производной второго порядка, если она существует, называют третьей производной функции , или производной третьего порядка, и обозначают Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru или Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru и т. д.

Определение. Производные порядков выше первого называются производными высших порядков.

При этом производная Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru -го порядка определяется как производная от производной предыдущего порядка, т. е.

Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Пример. Найти вторую производную функции Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Найдем сначала первую производную Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Найдем вторую производную

Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru

Применение производных при исследовании функций

Возможность применения производных при исследовании функций основана на связи, существующей между производными функций и некоторыми особенностями графиков этих функций.

Связь производной функции с наличием промежутков ее возрастания и убывания

Как мы уже говорили, функция Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru называется возрастающей на интервале Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , если для любых двух значений Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru и Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , принадлежащих этому интервалу и удовлетворяющих неравенству Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , выполняется неравенство Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , и убывающей, если при этих же условиях выполняется неравенство Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru .

Теорема 1.

1) Если функция Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru дифференцируема и возрастает на интервале Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , то производная этой функции не отрицательна Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru во всех точках данного интервала.

2) Если функция Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru дифференцируема и убывает на интервале Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru , то производная этой функции не положительна Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru во всех точках данного интервала.

Эту теорему называют теоремой о необходимых признаках возрастания и убывания функции, поскольку в ней указывается, какой должна быть производная дифференцируемой функции на интервале в случаях соответственно возрастания и убывания функции.

Необходимо помнить, что неотрицательность производной является лишь необходимым, но не достаточным условием для утверждения о возрастании функции, точно так же, как неположительность производной не является достаточным условием для утверждения о ее убывании.

Теорема 2.

1) Если производная функции положительна Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru на интервале Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru ,то функция возрастает на этом интервале.

2) Если производная функции отрицательна Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru на интервале Метод логарифмического дифференцирования. - student2.ru ,то функция убывает на этом интервале.

Эту теорему называют теоремой о достаточных признаках возрастания и убывания функции, поскольку в ней указывается, при каком знаке производной на интервале дифференцируемая функция возрастает и при каком – убывает.

Наши рекомендации