Тема: «Производная функции, ее применение к приближенным вычислениям и исследованию функций».
Знания:
- определение дифференцируемости функции;
- приращение функции и приращение аргумента;
- определение производной функции, ее физический и геометрический смыслы;
- правила дифференцирования и таблица производных.
Умения:
- находить производные простых и сложных функций;
- решать задачи с учетом профессиональной направленности;
- применять производные к исследованию функций.
Задание 1.
Найти производные следующих функций.
а) 
б) 
в) 
г); 
; д) 
.
Решение.
а)
Рассмотрим сложную функцию. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой 
. Внешней функцией является степенная функция, а внутренней – функции находящиеся в скобках.
б) 
Предварительно преобразуем данную функцию, учитывая свойства степеней и логарифмов:
в) 
Поскольку основание и показатель степени являются функциями от 
, то применяем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем левую и правую части:
г)
Для нахождения производной данной функции воспользуемся формулой
д)
Рассмотрим сложную функцию. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой . Внешней функцией является показательная функция, а внутренней – функции находящиеся в скобках в степени.
Задание 2.
В питательную среду вносят 10 кроликов. Рост числа кроликов описывается уравнением 
. Найти скорость роста числа кроликов в момент времени 
часа.
Решение.
Т. к. производная определяет скорость течения какого-либо процесса, то найдем 
.
Скорость роста числа кроликов в момент времени часа найдем, подставив в производную часа
часа.
Задание 3
Найти угол наклона касательной к графику функции 
в точке 
.
Решение.
Для нахождения угла наклона касательной к графику функции воспользуемся формулой
.
Получаем 
. Найдем значение производной в точке .
.
Т. об., угол наклона касательной к графику функции 
в точке составляет 
.
Задание 4
Вычислить приближенное значение 
, 
, 
, 
.
Решение.
а) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой
.
Введем обозначения: 
, 
, 
– это ближайшее целое число к числу 
, поэтому 
.
Далее вычисляем 
, 
, 
.
Т. об., получаем 
.
б) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой
.
Введем обозначения: 
, 
, – это ближайшее табличное значение косинуса, поэтому 
.
Далее вычисляем 
, 
, 
, 
.
Т. об., получаем 
.
в) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой
.
Введем обозначения: 
, 
, – это ближайшее целое число числу , поэтому 
.
Далее вычисляем 
, 
, 
, 
.
Т. об., получаем 
.
г) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой
.
Введем обозначения: 
, 
, – это ближайшее целое число числу , поэтому .
Далее вычисляем 
, 
, 
, 
.
Т. об., получаем 
.
Задание 5
а) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума 
.
б) Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решение.
а) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума .
1. Найдем область определения функции . Известно, что дробь определена, если ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем,
.
Т. об., получаем 
.
2. Вычисляем производную функции
3. Решим уравнение 
.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем систему вида
.
4. Рисуем числовую ось, расставляем числа в порядке возрастания и определяем знаки над промежутками.
5. Т. об., функция возрастает при 
и функция убывает при 
. Т. к. в точке 
происходит смена знаков с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума и т. к. в точке 
происходит смена знаков с «-» на «+», то данная точка является точкой минимума функции.
б) Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .
1. Найдем производную функции
2. . Решим уравнение .
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем систему вида
.
Значение 
не принадлежит отрезку . Далее вычисляем значение функции в точке 
и на концах отрезка.
; 
;
.
Т. об., 
, 
.
Приднестровский государственный университет
им. Т.Г. Шевченко
Физико-математический факультет
Кафедра «Алгебры, геометрии и методики преподавания математики»
Лабораторная работа №3
Вариант №___
Тема: «Применение производных к исследованию функций».
Выполнил(а) студент(ка)
медицинского факультета,
гр. ______
специальность «_________________»
Ф.И.О.
Проверил преподаватель
Ф.И.О.
| Дата сдачи | Дата возврата | Дата сдачи | Дата возврата | |
Тирасполь, 2017 г.