Построение графиков функции с помощью производной.

Цель работы

Научиться исследовать функцию с помощью производной и строить по результатам исследования график

Ход работы

Вариант

Исследовать функцию и построить её график:

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.2. Допуск к работе

2.2.1 Заполните пропуски

А) Если производная дифференцируемой функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке _____________________.

Б) Если производная дифференцированной функции _________________ на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

В) Если для дважды дифференцируемой функции вторая её производная отрицательнавнутри промежутка, то график функции является ______________ на данном промежутке.

Г) Если же вторая производная __________________ внутри промежутка, то график функции является вогнутым на данном промежутке.

2.2.2 Заполните пропуски

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.

2. Определите четность, нечетность функции. ( f(-x) = f(x) - ____________________

f(-x) = __________ - нечётная)

3 Найти точки пересечения графика функции с осями координат. ( с осью ОХ у = ___ , с осью _____ х = 0).

4. Найдите производную функции.

5. Определите стационарные и критические точки производной. Т. е. точки в которых производная равна ________ и не существует.

6. Определите промежутки монотонности (возрастания, _____________ ) и экстремумы (максимумы и ________________ ) функции.

7. Найдите значения функции в _________________________ и критических точках.

1. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и ____________.

9. Для построения графика найдите необходимые дополнительные точки.

2.2.3 Дорисуйте схемы

А) Б)

К работе допускается ______________

1. Результаты работы

3.1

y =

1) Область определения функции D(f) =

2) Четность, нечетность функции

f(-x) =

_____________________________________________________________________________________

3) Точки пересечения графика функции с осями координат

А) с осью ОХ ( у=0)

Б) с осью ОУ ( х=0)

4) Первая производная: y’ =

5) Стационарные точки: (y’ = 0)

____________________________________________________________________________________

6) Промежутки монотонности (возрастания, убывания)

Возрастает _______________________

Убывает __________________________

7) Экстремумы:

Максимум: x_max = y_max =

Минимум: x_min = y_min =

8) Вторая производная у ‘’ =

Выпукла ____________________

Вогнута _____________________

9 ) График функции:

х
у

3.2

y =

1) Область определения функции D(f) =

2) Четность, нечетность функции

f(-x) =

_____________________________________________________________________________________

3) Точки пересечения графика функции с осями координат

А) с осью ОХ ( у=0)

Б) с осью ОУ ( х=0)

4) Первая производная: y’ =

5) Стационарные точки: (y’ = 0)

____________________________________________________________________________________

6) Промежутки монотонности (возрастания, убывания)

Возрастает _______________________

Убывает __________________________

7) Экстремумы:

Максимум: x_max = y_max =

Минимум: x_min = y_min =

8) Вторая производная у ‘’ =

Выпукла ____________________

Вогнута _____________________

9 ) График функции:

х
у

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15

Применение производной для решения задач.

Цель работы

1. 1 Научиться применять производную для решения геометрических и физических задач

1.2 Научиться применять производную для приближённых вычислений

Ход работы

Вариант

Материальная точка движется прямолинейно по закону

1.Найдите скорость в момент времени t = c.

2.Найдите ускорение в момент времени t = c.

3.Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

4.Напишите уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ = .

5.Найдите тангенс угла наклона к оси OX касательной графика функции , проходящей через точку с абсциссой .

6.Написать уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой x₀ = .

7.Вычислите приближенное значение функции при х =

8.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [ ].

9.Закон прямолинейного движения тела задан уравнением: . Определите, в какой момент времени скорость движения тела будет наименьшей и найдите эту скорость.

10.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [ ].

2.2. Допуск к работе

2.2.1. В чём заключается физический смысл производной

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.2. Каков геометрический смысл производной?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.3. Запишите уравнение касательной к графику функции

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.4. Запишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.5. Запишите формулу для вычисления приближённого значения функции

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16