Лабораторная работа № 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Необходимость вычисления значений определенных интегралов при моделировании возникает достаточно часто.

Формула Ньютона-Лейбница

(7.1)

имеет ограниченное применение:

– во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f(x);

– во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F(x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f(x), независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f(x), и прямыми x = a и x = b (рис. 7.1).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

Рис. 7.1. Геометрический смысл определенного интеграла

Отрезок [a,b] делят на n равных частей – элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x₀, x₁, …, x_n – узлами сетки.

Если сетка равномерная, то – шаг сетки, при интегрировании – шаг интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

, . (7.2)

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных криволинейных трапеций – элементарных площадей:

(7.3)

Квадратурные формулы отличаются друг от друга способом оценки значения S_i – площади элементарной криволинейной трапеции.

Рассмотрим получение простейших формул для часто используемой равномерной сетки.

Метод прямоугольников

Площадь i-той элементарной трапеции можно оценить (приближенно вычислить) как площадь прямоугольника со сторонами и f_i (рис.7.2). Тогда и значение интеграла:

. (7.4)

Рис. 7.2. Оценка элементарной площади S_i левым прямоугольником

Полученная формула называется формулой левых прямоугольников, т. к. для оценки площади использовалось левое основание элементарной криволинейной трапеции.

Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников (рис.7.3):

Рис. 7.3. Оценка элементарной площади S_i правым прямоугольником

Для данного случая и тогда значение интеграла:

(7.5)

Эти формулы не находят широкого применения, т. к. имеют большую погрешность, пропорциональную величине шага

Как появляется эта погрешность, видно на рис. 7.2 и 7.3.

Для повышения точности площадь S_i можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка (рис. 7.4)

Рис.7.4. Оценка элементарной площади S_i центральным прямоугольником

Для данного случая и формула центральных прямоугольников имеет вид:

(7.6)

Как видно из рис. 7.4., погрешность в оценке площади S_i в данном случае существенно меньше, чем в двух предыдущих (погрешность оценивается разницей площадей δ₁ и δ₂).

Погрешность метода пропорциональна квадрату величины шага .

Формула центральных прямоугольников на порядок точнее предыдущих формул.