Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

7.2. Метод трапеций

В данном методе (дуга f(x) заменяется хордой CD) (рис. 7.6).

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Рис. 7.6. Оценка элементарной площади Si трапецией

Из рисунка 7.6. видно, что Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Отсюда:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (7.7)

Погрешность формулы трапеций пропорциональна квадрату шага h Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , т. е. формулы центральных прямоугольников и трапеций имеют близкую точность.

Знак погрешности легко объяснить по геометрической иллюстрации применения формулы.

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом трапеций

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Метод Симпсона

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

На каждом элементарном отрезке подынтегральная функция f(x) заменяется квадратичной параболой, построенной по трем точкам: концам элементарного отрезка ( Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ), ( Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ) и его середине ( Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ).

Площадь полученной криволинейной трапеции служит оценкой элементарной площади Si:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Тогда значение интеграла:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Преобразуем данную формулу:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (7.8)

Формула Симпсона имеет высокую точность, так как погрешность метода dм = О(h3).

 
  Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом Симпсона.

Точность и сходимость методов прямоугольников, трапеций, Симпсона

Формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом:

1) прямоугольников:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ; (7.9)

2) трапеций:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ; (7.10)

3) Симпсона:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , (7.11)

где Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Формула Симпсона обладает повышенной точностью, т. к.:

1) она оказывается точной для Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru являющихся полиномами до третьей степени включительно, т. к. для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю;

2) для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru отрезков разбиения.

Задание

Вычислить определенный интеграл методами:

1) трапеций;

2) прямоугольников;

3) Симпсона.

Варианты заданий:

№ Вар. Подынтег- ральная функция Интервал интег- рирования [a, b] Кол-во частей разбие-ния: n1, n2, n3 Первообразная функция F(x)
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2;5] 40, 80, 200 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [3;7] 80, 150, 400 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [0,9;3,1] 20, 100, 500 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [0,2; Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ] 50, 180, 400 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [0,8;1,9] 50, 200, 1000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [1;5] 30, 500, 1200 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2; 6] 100, 300, 2000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [1;3] 50, 400, 2500 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [0,8;4,5] 25,150, 1000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2;3] 40, 300, 2000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [1,7;3,2] 50, 250, 500 -2·1n( Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru )
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2,1;4,2] 80, 300, 2000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [3;5] 50, 500, 4000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2;3,1] 40, 200, 5000 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru
Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru [2;4] 60, 180, 3500 Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

7.5. Контрольные вопросы

1. Объяснить геометрический смысл определенного интеграла.

2. Какой зависимостью связан шаг интегрирования с количеством интервалов?

3. Какой из методов вычисления определенного интеграла является самым точным и как это определяется?


Лабораторная работа № 8. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru . (8.1)

Если это уравнение разрешимо относительно Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , то

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru или Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (8.2)

Общим решением уравнения (8.1) называется функция

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (8.3)

от x и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением уравнения (8.1) называется решение, полученное из общего решения (8.3) при фиксированном значении С:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , (8.4)

где Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru – фиксированное число.

Задача Коши.Найти решение Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru дифференциального уравнения (8.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru при Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru . Другими словами, найти интегральную кривую уравнения (8.1), проходящую через данную точку Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

8. 1. Метод Эйлера (метод Рунге– Кутта 1-го порядка)

Разобъем [a, b] на n равных частей – элементарных отрезков, x0, x1, …, xn будем называть узлами сетки, h = (b – a) / n - шаг сетки.

Очевидно, что Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ; Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Заменим в уравнении (8.1) Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru в точке xi ее приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Тогда получаем:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Отсюда формула Эйлера:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (8.5)

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru – номер узла

Зная y0 в точке x0 (начальное условие) можно найти y1, затем, используя уже известные значения x1 и y1, вычислить x2 и y2 и так далее.

Если функция Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru для Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , то имеет место неравенство:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ,

где Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru , Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Оценка имеет лишь теоретическое значение. На практике чаще всего пользуются двойным пересчетом на ЭВМ: расчет на отрезке Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (повторяют с шагом Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ) и погрешность более точного решения Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru (при шаге Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru ) оценивают по формуле:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера (рис. 8.1). В координатах (x, y) отобразим известные данные: отрезок [a, b] на оси Х и начальное условие y0 – точка А с координатами (a, y0). Отрезок [a,b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x0, x1, x2, … , xn = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение (8.3):

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления приближенного значения искомой функции в новом узле х1 (кривую y(x) заменяем отрезком АВ на элементарном отрезке [x0, x1]).

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера.

Зная (x1,y1), можно аналогично получить новую точку (x2,y2) и т. д.

Из геометрической иллюстрации следует, что:

1. На каждом шаге есть погрешность (на рис. 8.1 это отрезок BD).

Погрешность тем больше, чем больше шаг.

2. Ошибка может накапливаться.

Формула Эйлера (8.3) имеет погрешность метода Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Для практического выбора h с целью обеспечения заданной точности решения задачи e применяется следующий прием.

Выполняются 2 расчета: с n и 2n узлами. Если полученные значения функции во всех узлах отличаются не более чем на e, задача считается решенной. Если нет, число узлов вновь удваивают и опять сравнивают полученные значения функций.

Таким образом, расчет продолжается до достижения условия

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru . (8.6)

Значение n может достигать большой величины – более 1000. Чтобы не печатать столько значений функции, в алгоритме решения ОДУ методом Эйлера нужно предусмотреть печать не всех рассчитанных значений, а только части их, например, 10-ти значений, распределенных равномерно по всему отрезку.

Пример 1.Дано уравнение Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru .

Найти решение для отрезка [0; 1], если y(0) = 1.

Выберем n = 10, тогда шаг h =(1-0)/10 = 0,1.

Запишем уравнение в каноническом виде Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.

Вычислим первую точку

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru x1 = x0 + h = 0 + 0,1 = 0,1

Вычислим вторую точку:

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников - student2.ru

Аналогично нужно вычислить еще восемь точек (т. к. выбрано n=10).

Наши рекомендации