Уравнения в полных дифференциалах

Пусть Р = Р(х, у) и Q = Q(х, у) – непрерывные функции. Уравнение вида

P dx + Q dy = 0 (10)

называется уравнением в полных дифференциалах , если

= .

Уравнение (10) тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U(х, у) такая, что

dU = P dx + Q dy ,

т.е.

= P, = Q. (11)

Общий интеграл уравнения (10) имеет вид

U(х, у) = С.

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частный интеграл, если заданы начальные

условия:

1.1. 2x cos²y dx + (2y – x²sin 2y) dy = 0 .

Р е ш е н и е. Здесь P = 2x cos²y, Q = 2y – x²sin 2y.

= –4x cos y sin y = –2x sin 2 y, = –2x sin 2 y. = => исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Значит, существует функция U , такая, что

dU = 2x cos²y dx + (2y – x²sin 2y) dy.

Поэтому = 2x cos²y. Отсюда U = = x² cos²y + f (y), где функция f (y) зависит только от у (постоянна по отношению к х).

Дифференцируя найденную функцию по у, получим выражение

= – x²sin 2y + f ´ (y),

которое, согласно (11) можно приравнять к Q:

= – x²sin 2y + f ´ (y) = 2y – x²sin 2y.

Отсюда f ´ (y) = 2y и f (y) = у² – С. Т.о., U = x² cos²y + у² – С.

Окончательно получаем, что общий интеграл исходного уравнения равен x² cos²y + у² = С.

1.2. (3x² + 2у) dx + (2x – 3) dy = 0 .

1.3. (3x²y – 4xу²) dx + (x³ – 4x²y + 12 y³) dy = 0 .

1.4. (x + ) dx + (1 – ) dy = 0 , y(0) = 2.

3. Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка

Надо знать 3 (три!) основных типов таких уравнений!

3.1. Решение дифференциального уравнения y⁽ⁿ⁾ = f (x)

Для решения уравнения y⁽ⁿ⁾ = f (x) сделаем замену

y^(n-1) (x) = z(x), y⁽ⁿ⁾ (x) = z´(x).

Тогда

z´(x) = f (x), = f (x), z(x) = + С₁.

Но z(x) = y^(n-1) (x). Следовательно,

y^(n-1) (x) = + С₁.

Повторяя эту операцию еще (n -1) раз, получим y (x).

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

1.1. y⁽⁴⁾ (x) = sin x.

Р е ш е н и е. Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:

= ,

y´´´(x) = –cos x + C₁,

= ,

y´´(x) = –sin x + C₁ x + C₂,

y´(x) = cos x + C₁ + C₂ x + C₃,

y (x) = sin x + C₁ + C₂ + C₃ x + C₄.

1.2. xy⁽⁴⁾ = 1.

1.3. y⁽²⁰⁾ (x) = sin x.

1.4. y´´= ; y = , y´ = 0.

1.5. y´´´= ; y(1) = 2, y´(1) = 1, y´´(1) = 1.

3.2. Уравнения, не содержащие явно функцию y

Уравнение

y´´ = f (x, у´)

сводится к уравнению первого порядка с помощью замены y´ = z (x), y´´ = z´ (x).

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

1.1. x² y´´ + x y´ = 1.

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно функцию у. Сделав замену y´ = z (x), y´´ = z´ (x), получим

x² z´ + x z = 1. (12)

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены z = uv. Вначале приведем выражение (12) к виду y´ + p(x) y + q(x) = f (x) (делим правую и левую части на x² (делить можно, т.к. х, очевидно, не является решением уравнения)):

z´ + z = . (13)

Имеем: z = uv, z´ = u´v + uv´ .

Подставим эти выражения в (13) и получим

u´v + uv´ + uv = .

Отсюда: v (u´ + u) + uv´ = . (14)

Приравниваем выражение в скобках к нулю:

u´ + u = 0,

и находим u:

= – => ln|u| = ln => u = .

Подставляя его в (14), с учетом того, что выражение в скобках равно нулю, находим v:

v´ = => dv = => v = ln|C₁x| .

Отсюда z = ln|C₁x|.

Т.о., возвращаясь к начальной замене, имеем еще одно дифференциальное уравнение первого порядка

y´ = ln|C₁x|,

решая которое получим

y = = = ln²|C₁x| + C₂.

1.2. x² y´´ = (y´ )².

1.3. 2xy´y´´ = (y´ )² – 1.

1.4. xy´´´ + y´´ = 1 + x.

1.5. xy´´´´ + y´´´ = e^x.

1.6. (1 + x²) y´´ – 2xy´ = 0; y(0) = 0, y´(0) = 3.

1.7. y´´ = ; y(1) = , y´(1) = 1.

3.3. Уравнения, не содержащие явно х

Уравнение

y´´ = f (у, у´)

с помощью замены

= p (y), = · = p´ p

сводится к уравнению первого порядка относительно функции p (y).

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

1.1. y´´ + 2у y´ = 0; у(0) = 2, у´(0) = –4.

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно переменную х. Сделав замену y´ = p, y´´ = p´ p, получим

уравнение первого порядка относительно p (y):

p´ p + 2ур = 0, или p´ = –2у .

Отсюда находим р:

= –2у = – => p = –y² + C₁,

Следовательно,

y´ = –y² + C₁, (15)

Подставив в (15) начальные данные, получим:

–4 = –4 + C₁ => C₁ = 0.

Отсюда

y´ = –y² => = dx = x + C₂ => y = .

Подставляем сюда начальные данные:

2 = => C₂ = .

Таким образом, частное решение имеет вид

y = .

1.2. y y´´ + (y´ )² = 0.

1.3. y³y´´ = 1; y = 1, y´ = 1.

1.4. y´´ – (y´ )² + y´ (y – 1) = 0; y(0) = 2, y´(0) = 2.

4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Общие положения

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + p₂(x) y^(n-2) + … + p_n-1(x)y´ + p_n(x)y = q(x),

где p₁(x), p₂(x), … , p_n(x), q(x) – непрерывные функции.

При q(x) = 0 оно называется однородным, а при q(x) ≠ 0 – неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

у_общ = ,

где v_i(x), i = 1, 2, … , n – линейно независимая система решений.

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

у_общ = + у⃰,

где v_i(x), i = 1, 2, … , n – линейно независимая система решений, соответствующая линейному

однородному уравнению;

у⃰ – частное решение неоднородного уравнения.

Линейно независимая система решений v₁, v₂, … , v_n линейного однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Наложение решений. Если правая часть линейного неоднородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + p₂(x) y^(n-2) + … + p_n-1(x)y´ + p_n(x)y = q (х) и

представляет собой сумму двух функций

q(x) = q₁(x) + q₂(x),

а у_ч1 и у_ч2 – частные решения уравнений

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + p₂(x) y^(n-2) + … + p_n-1(x)y´ + p_n(x)y = q₁ (х) и

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + p₂(x) y^(n-2) + … + p_n-1(x)y´ + p_n(x)y = q₂ (х)

соответственно, то функция у_ч = у_ч1 + у_ч2 является решением данного уравнения.