ЗАНЯТИЕ 4. Уравнения в полных дифференциалах.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 96, 98, 100, 102, 104, 149, 154,171,187.

☺ ☻ ☺

Пример 1–96: Решить дифференциальное уравнение: (2x+y)dx+(x+2y)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . Если условие выполняется, то заданное уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = : u(x,y)= + φ(y), (1)

где φ(y) отражает ту часть функции u(x,y), которая была «уничтожена» при дифференцируемости по переменной х.

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: + φ′(y)= N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)– . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + +С. (5)

3). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= + φ(y)=x²+xy+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²+xy)+φ′(y)= x+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x=(x+2y) –x=2y. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =y². (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = x²+xy+ y²= С. (5)

Ответ: u(x,y)= x²+xy+ y²= С – общее решение.

Пример 2–98: Решить дифференциальное уравнение: (3x²+6xy–2y²)dx+(3x²–4xy–3y²)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =6x–4y и =6x–4y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=x³+3x²y–2xy²+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x³+3x²y–2xy²)+φ′(y)=3x²–4xy +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x=(3x²–4xy–3y²)–( 3x²–4xy)=–3y². (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =–y³. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x³+3x²y–2xy²–y³= С. (5)

Ответ: u(x,y)=x³+3x²y–2xy²–y³= С – общее решение.

Замечание: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции М(x,y) и N(x,y) – обе однородные, порядка 2. Если «попробовать» решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость «процесса» возрастет в разы: f(u)–u= –u= → J= .

2). Ещё бо′льшим будет «интерес», если обратить внимание на «ситуацию» возможного равенства: f(u)–u=0. По основной теореме алгебры мы получим (!) три корня: u=u₁, u=u₂, u=u₃ → получаем дополнительно три решения ДУ:

y= u₁x; y= u₁x; y= u₁x – прямые, проходящие через начало координат.

3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!

Пример 3–100: Решить дифференциальное уравнение: dx– dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = – и = – → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= + +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= –2 – +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)+2 + =2. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =2y. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = + +2y= С. (5)

Ответ: u(x,y)= + +2y= С – общее решение.

Пример 4–102: Решить дифференциальное уравнение: (2x–y∙e^–x)dx+e^–xdy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = –e^–x и = –e^–x → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= x²+y∙e^–x +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x²+y∙e^–x)+φ′(y)= e^–x+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–e^–x =0. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =C. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²+y∙e^–x=С. (5)

Ответ: u(x,y)=x²+y∙e^–x=С – общее решение.

Пример 5–104: Решить дифференциальное уравнение: 2x∙cos²ydx+(2y–x²sin2y)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2x∙sin2y и =–2x∙sin2y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=x²cos²y+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²cos²y)+φ′(y)=–x²sin2y+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x²sin2y=2y. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =y². (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²cos²y+y²=С. (5)

Ответ: u(x,y)=x²cos²y+y²=С – общее решение.

Пример 6–149: Решить дифференциальное уравнение: (2x³–xy²)dx+(2y³–x²y)dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2xy и =–2xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= x⁴– x²y²+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x⁴– x²y²)+φ′(y)= x²y +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x²y=2y³. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= = y⁴. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x⁴–x²y²2xy²+y⁴= С. (5)

Замечание: Для упрощения записи общего решения умножили на 2 (!) .

Ответ: u(x,y)=x⁴–x²y²2xy²+y⁴= С – общее решение.

Пример 7–154: Решить дифференциальное уравнение: (2x+lny)dx+ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = и = → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= x²+x∙lny+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²+x∙lny)+φ′(y)= +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)– =siny. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= = –cosy. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²+x∙lny–cosy= С. (5)

Ответ: u(x,y)=x²+x∙lny–cosy= С – общее решение.

Пример 8–171: Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого отрезка [1,x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы x концевой точки к ординате y.

Решение:

Замечание: а). При решении задачи используется производная интеграла по верхнему «переменному пределу»;

б). Необходимо отметить «безразличие» решения к «числу 2».

1) Составим «интегральное» уравнение:

= +2. (1)

2). Дифференцируя (1), получаем дифференциальное уравнение:

y= – x y′, или y′– y=– y³. (2)

3). Уравнение (2) – уравнение Бернулли для n=3. Алгоритм решения стандартный:

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= –2; то есть: z=y^–2.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+2 z=2 . (3)

a². Решение уравнения ищем в виде: функцию z=u(x)∙v(x);

a³. Вычислим интеграл: – =–2 =–lnx² → u= = .

a⁴. Вычислим функцию v: v = = 2 +С= x² +С;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= ∙( x² +С). (4)

a⁶. Учитывая: z=y^–2, запишем общее решение для (1): y^–2= ∙( x² +С), или (удобнее для использования): y²= .

a⁷. Учитывая начальные условия, запишем частное решение: .

Ответ: y²= – общее решение уравнения. Частное решение: .

Замечание: решение y=0 в нашем случае «геометрически неинтересное», потому в ответе не отмечено.

Пример 8–187: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени t, если тело, нагретое до Т₀ градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

Решение:

Замечание: рисунок «мотивирует» решение задачи, а также «намекает», что охлаждение тела происходит за счет «молекулярного взаимодействия» тела и среды: подвеска тела к потолку на тонкой нити с минимальной теплопроводностью.

1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение:

=–k(T–a). (1)

2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его стандартная форма записи:

=–kdt. (2)

3). В результате интегрирования уравнения (2) получаем общее решение задачи:

T=a+Ce^–kt. (3)

4). Учитывая начальные условия, получаем частное решение задачи:

T=a+(Т₀–a)e^–kt. (4)

Ответ: T=a+Ce^–kt – общее решение уравнения. Частное решение: T=a+(Т₀–a)e^–kt.

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 97, 99,101,103,105,143,181,188.

Пример 1–97: Решить дифференциальное уравнение: (10xy–8y+1)dx+(5x²–8x+3)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =10x–8и =10x–8 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=5x²y –8xy+x+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (5 x²y –8xy+x)+φ′(y)=5x²–8x +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–5x²+8x =3. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =3y. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =5x²y–8xy+x+3y= С. (5)

Ответ: u(x,y)= 5x²y–8xy+x+3y = С – общее решение.

Пример 2–99: Решить дифференциальное уравнение: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= xy–2 +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= x +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x= –x=– . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= +С=3 . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = xy–2 +3 = С. (5)

Ответ: u(x,y)=x³+3x²y–2xy²–y³= С – общее решение.

Пример 3–101: Решить ДУ: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1+xy и =1+xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= + +φ(y)= +xy+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( +xy)+φ′(y)= x– +φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)–x+ = . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= +С=– . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = +xy– = С. (5)

Ответ: u(x,y)= +xy– = С – общее решение.

Пример 4–103: Решить ДУ: (2x+ )dx+(1– )∙ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =– ∙ и =– ∙ → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= +φ(y)= + +φ(y)=x²+y +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x²+ y )+φ′(y)= – +φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)– (1– )∙ =0. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)=С. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²+y = С. (5)

Ответ: u(x,y)= x²+y = С – общее решение.

Пример 5–105: Решить ДУ: (siny–ysinx+ )dx+(xcosy+cosx– )∙dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =cosy–sinx и = cosy–sinx → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= +φ(y)= – + +φ(y)=

=xsiny+ycosx+ln|x|+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (xsiny+ycosx+ln|x|)+φ′(y)=xcosy+cosx+φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)–(xcosy+cosx)= – . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)=–ln|y|. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = xsiny+ycosx+ln|x|–ln|y|= С. (5)

Ответ: u(x,y)= xsiny+ycosx+ln| |= С – общее решение.

Пример 6–143: Решить ДУ: (xcos2y+1)dx–x²∙sin2y∙dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2x∙sin2y и =–2x∙sin2y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= +φ(y)= +φ(y)= x²cos2y+x+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²cos2y+x)+φ′(y)= –x²∙sin2y+φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)+ x²∙sin2y=0. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)=C. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = x²cos2y+x= С. (5)

Ответ: u(x,y)= x²cos2y+x= С – общее решение.

Пример 7–181: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью ОХ равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

Решение:

Замечание: 1). При составлении дифференциального уравнения необходимо учесть возможные варианты названного в условии равенства: 2|OM|² = |x∙ON|.

2). Для лучшего восприятия задачи воспользуемся рисунком: отрезки ОМ, ОN и абсцисса точки М выделены красным цветом.

Итак, через некоторую точку М(x,y) плоскости OXY проходит кривая y=(y) со свойством:

▪ Случай-1: 2(x²+y²)= x∙(x+yy′); (1)

▪ Случай-2: 2(x²+y²)=–x∙(x+yy′). (2)

Случай-1.

1). Из условия запишем: y′ = = +2 – однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:

a¹. Исходная запись ДУ решений не дает.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u= +2u–u= +u= .

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Дополнительных решений не получим.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): 2 =2 . (3)

a⁵. Интегрируем уравнение (3): ln(u²+1)= lnCx² → u²+1=Cx².

a⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: y²=x²(Cx²–1).

a⁷. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5 : получаем: y²=x²(5x²–1).

Случай-2.

1). Из условия запишем: y′ =– =–3 –2 – однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:

a¹. Исходная запись ДУ решений не дает.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u= +2u–u=–3 –3u=–3 .

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Дополнительных решений не получим.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): –6 =2 . (3)

a⁵. Интегрируем уравнение (3): –3ln(u²+1)= lnCx² → u²+1=C .

a⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: y²=x²(C –1).

a⁷. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5 : получаем: y²=x²(5 –1).

Ответ: Случай-1: y²=x²(Cx²–1).– общее решение ДУ, частное решение: y²=x²(5x²–1).

Случай-2: y²=x²(C –1).– общее решение ДУ, частное решение: y²=x²(5 –1)

Замечание: задачние «зевнул» второе решение!

Пример 8–188: Через сколько времени температура тела, нагретого до 100⁰С, понизится до 25⁰С, если температура помещения равна 20⁰С и за первые 10 мин тело охладилось до 60⁰С?

Решение:

Замечание: задача интересна «физической стороной» вопроса: физик использует общее решение для определения характеристик остывания конкретного тела в заданных условиях! Общее решение задачи нами получено в Примере 8–187: T=a+(Т₀–a)e^–kt. (2)

1). Из условия задачи следует: Т₀–a=80⁰С, Т–a=40⁰С, t=10 мин.

2). Из уравнения (1) следует: (e^–k)¹⁰ =0.5 → (e^–k)= .

3). Теперь имеем: Т–a=75⁰С =( )^t, или ( )^t = → t ≈40 мин.

Ответ: t ≈ 40 мин.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют ДУ в полных дифференциалах?

2. Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?

3. Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?

4. Что такое «интегрирующий множитель уравнения»?

5. Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.

6. Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.

< * * * * * >