Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33)

Д.у. первого порядка вида Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Это отношение является необходимым и достаточным условием, чтобы д.у. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru было д.у. в полных дифференциалах, т.е. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru - общий интеграл.

Действительно:

1) Необходимость: докажем, что если Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , то Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , так как Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , то Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Отсюда находим Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Но Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , если они непрерывны в данной точке Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

2) Достаточность: Пусть Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Докажем, что существует Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru такая, что Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Отсюда следует Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru . Проинтегрируем любое из этих уравнении по x или по y соответственно, например первое.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Итак Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Отсюда находим

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Отсюда Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Из (*) и (**) следует Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Общий интеграл исходного д.у. есть Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и следовательно Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Замечание:из доказательства пункта 2 следует метод решения уравнений в полных дифференциалах, т.е. из условий Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ищется Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Если д.у. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru не является д.у. в полных дифференциалах, т.е. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , то существует такой множитель Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , который называется интегрируемым множителем, что д.у. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru будет д.у в полных дифференциалах, т.е. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru (3) Это уравнение является д.у. частных производных для нахождения функции Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru . В двух частных случаях уравнение легко решится:

1) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Из уравнения (3) находим Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru (4)

Если это так, то Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru находится из (4): Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

2) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Из уравнения (3) находим Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru (5)

Если это так, то Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru находится из (5): Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Замечание:д.у. в полных дифференциалах может быть как д.у. с разделяющимися переменными, однородным или линейным. Следовательно, перед тем как проверять условие Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru необходимо убедиться, что оно не является д.у. с разделяющимися переменными, однородным, линейным или уравнением Бернулли. (смотрите последний пример)

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru д.у. с разд. переменными и однородным.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru - однородное.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru где p>0, q>0. Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

1) p¹0 и Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru . Общее решение однородного уравнения Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru имеет вид: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru . Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru т.к. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru находим Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru . Подставляем Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru в неоднородное дифференциальное уравнение Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ;

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ;

где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ;

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ;

где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения примет вид: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru .

При Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru т.е. по истечении достаточно большого промежутка времени, система ведёт себя по закону вынуждающей силы. Колебания происходят с частотой вынуждающей силы. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ;

Имеет место минимум при: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru и Þ Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru при этой частоте в системе возникает резонанс, т.е. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru будет максимальна. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru при p=0 и w=w0, А*® ¥ это явление называется резонансом.

2) Пусть p=0, Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

а) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru т.е. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Находим: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru Отсюда находим: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru откуда M=0 т.к. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru , а Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Þ y – есть сумма двух гармонических колебаний с частотой w0 и w

б) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru где Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru

При w=w0 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru отсюда N=0, Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru ; Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33) - student2.ru при t®¥ и y®¥ т.е. резонанс при w=w0 и p=0

Наши рекомендации