Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Выше было показано, что вычисление площади плоской фигуры свелось к нахождению предела особого рода сумм (1). Решение многих других задач математики, естествознания и техники приводит к вычислению пределов такого же рода сумм. Это даёт основание для следующего определения.

Определение. Пусть на отрезке задана функция Разобьём отрезок точками на более мелких отрезков Длины которых

На каждом из этих отрезков выберем по точке

Длину наибольшего отрезка обозначим через

Определенным интегралом от функции по отрезку называется

(1)

Выражение, стоящее под знаком предела, называется интегральной суммой для функции по отрезку Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Из задачи о вычислении площади криволинейной трапеции вытекает следующий геометрический смысл определённого интеграла: если на то

где площадь криволинейной трапеции (рис. 1).

Если существует интеграл от функции по отрезку то функция называется интегрируемой на

Справедливо следующее утверждение: если непрерывна на отрезке то она интегрируема на

По определению будем считать, что и

Ключевую роль в вычислении определенных интегралов играет формула Ньютона-Лейбница, называемая основной формулой интегрального исчисления.

Теорема. Если на то

(2)

Формула (2) показывает, что вычисление определенных интегралов сводится к вычислению первообразной (т.е. к вычислению неопределенных интегралов).

Для вычисления удобна сокращенная запись

С помощью этого обозначения формулу (2) записывают так:

Основные свойства определенного интеграла

1.

2.

Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам неопределенного интеграла.

Следующее важное свойство определенного интеграла часто используется в приложениях.

3. где любая точка из

Это свойство имеет простой геометрический смысл: если на и то оно утверждает, что площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 4, равна сумме площадей составляющих ее меньших криволинейных трапеций.

4. Если функция непрерывна на отрезке то существует такая точка с из что

Геометрически это означает, что между и существует такая точка что площадь криволинейной трапеции (рис. 5) равна площади прямоугольника, основанием которого является отрезок а высотой -

Рис. 5

5. Если на то

6. Если на то

Это свойство тоже имеет простой геометрический смысл: если на то площадь меньшей криволинейной трапеции (рис. 6) меньше площади большей криволинейной трапеции

7. Если на то

Это свойство тоже легко проиллюстрировать геометрически: если на то оно утверждает, что площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника (рис. 7) и меньше площади прямоугольника

Рис. 7.

Основные методы вычисления определенного интеграла