Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], $abòf(x1)d x1. "xÎ[a, b] $axòf(x1)dx1=I(x) – интеграл с переменным верхним пределом.

x®I(x)

Теорема 1: функция y=I(x)=axòf(x1)dx1 непрерывна на промежутке [a,b]. Докажем, что Dx®0ÞDI(x)®0.

Доказательство: xÎ[a,b], Dx такое, что x+DxÎ[a,b].

DI(x)=xx+Dxòf(x1)dx1

DI=I(x+Dx)-I(x)=xx-Dxòf(x1)dx1- axòf(x1)dx1

|DI|=| xx+Dxòf(x1)dx1 xx+Dxò|f(x1)|dx1£MDx

|f(x1)| £M.

Теорема 2: Если y=f(x) непрерывна в точке xÎ[a,b], то $ I’(x)=f(x).

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru DI(x)=xx+Dxòf(x1)dx1=f(x) Dx.

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru xÎ[a,b]

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru DI(x)/Dx=f(x)

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Dx®0; x®x; f(x) ®f(x)

lim (DI/Dx)=f(x)

Dx®0

Следствие из теоремы 2: если y=f(x) непрерывна и интегрируема на [a,b], то I(x)– первообразная для y=f(x) на [a,b].

Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению F(x) функции на промежутке интегрирования: abòdF(x)=F(b)-F(a). Т.е.: если F(x) есть какая-либо первообразная подынтегральной функции f(x), то: abòf(x)dx=F(b)-F(a)

11. Замена переменной в определенном интеграле и формула интегрирования по частям. Примеры.

Формула интегрирования по частям.

Удобнее использовать ту же формулу, которая применялась с неопределенном интеграле. Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла òUdV к интегралу òVdU с помощью формулы x1x2òUdV=U*V| x1x2- x1x2òVdU. За U принимается та функция, интеграла которой нет в таблице, U интегрируется «хуже», V – «лучше».

Замена переменной в определенном интеграле

Для вычисления x1x2òf(x)dx можно ввести вспомогательную переменную z, связанную с x некоторой зависимостью. Подынтегральное выражение преобразуется как при неопределенном интегрировании к виду f1(z)dz. Кроме того надо заменить пределы интегрирования x1; x2 новыми пределами z1; z2 с таким расчетом, чтобы эти значения переменной z соответствовали данные значения x1; x2 переменной x. Если это возможно, то имеем x1x2òf(x)dx=z1z2òf1(z)dz

Примеры:

1.0p/2òxsinxdx=0p/2òxd(-cosx)=-xcosx|0p/2 +0p/2òcosx dx=sinx|0p/2=1

14. Задача Коши, един-ое реш-е. Метод Эйлера.

y0=y(x0)- наз-ся нач-м услов-м задачи, нахош-я реш-я у-я y`=f(x;y); удовл. нач. услов. наз-ся задачей Коши. Т.сущ-я един-ти реш-е задачи Коши: рассмот-м прямоу-к Д={(x;y)½½x-x0½<a,½y-y0½<в½}. Пусть в прям-ке определена фун-я f(x;y), М=мах½f(x;y)½, (x;y)ÎД. Говорят, что фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоу-ке Д, если вып-ся нерав-во ½f(x1;y1)-f(x2;y2)½< k½(y1-y2)½, где (x1;y1)ÎД, (x2;y2)ÎД. Если фун-я f(x;y) диф-ма по y и имеет огранич-ю произ-ю в прям-ке Д, то она удовл-т усл-ю Липшица. Теорема: пусть для фун-и f(x;y) выпол-ся в прям-ке след-и услов-я: фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоуке Д, и явл-ся непрерывной по оси х, тогда задача Коши имеет ед-е реш-е y=y(x), при xÎ[x0-h;x0+h], где h-min из двух чисел h=min(a;в/М). Эйлер: y`=limDx®0(y(x+Dx)-y(x))/Dx»(y(x+Dx)-y(x))/Dx. Поэтому дуф-е ур-е можно заменить: (y(x+Dx)-y(x))/Dx=f(x,y(x)), y(x+Dx)= y(x)+Dxf(x,y(x)).Выберем Dx достаточно маленьким, тогда с учётом нач-х усл-й получ-м: y(x0+Dx)= y(x0)+Dxf(x0;y(x0)). Тогда yk=yk-1+Dxf(xk+yk-1)- метод Эйлера.

13.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги, площади плоской фигуры, объема тела вращения, площадь поверхности тел вращения в декартовых, полярных координатах и от параметрических функций.

Длина дуги кривой (в декартовых координатах).

Пусть дана кривая y=f(x). Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х=а и х=b. Длиной дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.

s = lim i=1nåDsi

maxDsi®0

sn=i=1nåDsi –длина ломаной, вписанной в дугу АВ.

Докажем, что если на отрезке a£x£b функция f(x) и её производная f’(x) непрерывны, то этот предел существует.

Пусть Dyi=f(xi)-f(xi-1). Тогда

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Dsi=Ö(Dxi)2+(Dyi) 2=Ö1+(Dyi/Dxi) 2 Dxi

По теореме Лагранжа имеем: (Dyi/Dxi)=(f(xi)-f(xi-1))/(xi-xi-1)=f’(xi),

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru где xi-1<xi< xi. Значит Dsi=Ö1+[f’(xi)] 2Dxi.

Длина вписанной ломаной:

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru sn=i=1nåÖ1+[f’(xi)] 2Dxi

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Т.к. f’(x) непрерывна, то функция Ö1+[f’(xi)]2 тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, равный определенному интегралу:

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru s= lim i=1nåÖ1+[f’(xi)]2Dxi= abòÖ1+[f’(xi)]2dx.

maxDsi®0

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Формула для вычисления длины дуги: s= abòÖ1+[f’(x)]2dx= abòÖ1+(dy/dx)2dx.

В полярных координатах. Пусть дано ур-ние p=f(q) кривой (p - полярный радиус, q - полярный угол). x=p cosq, y=p sinq. Подставим первоначальное выражение

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru x=f(q) cosq, y=f(q) sinq. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой. Воспользуемся формулой: s= abòÖ[j’(t)]+[y’(t)]2dt

dx/dq=f’(q) cosq-f(q) sinq

dy/dq=f’(q) sinq+f’(q) cosq.

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru (dx/dq) 2+( dy/dq) 2=[f’(q)]2+[f(q)]2=p’2+p2. Следовательно: s= q0qòÖp’2+p2dq

Объем тела вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ОХ и прямыми x=a, x=b. Произвольное сечение тела пл-тью, перп. оси ОХ, есть круг с площадью Q=py2=p[f(x)]2. Объем тела вращения: V=pabòy2dx=pabò[f(x)]2dx.

Площадь поверхности тел вращения. Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг ОХ. Найдем площадь её на a£x£b. Пусть y=f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка [a,b].

Проведем хорды, длины которых обозначим через Ds1, Ds2, …, Dsn. Каждая хорда при вращении опишет усеч. конус с площадью поверхности

DPi=2p(yi-1+ yi)/2Dsi.

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Но Dsi=Ö(Dxi)2+(Dyi) 2=Ö1+(Dyi/Dxi) 2 Dxi.

Применим формулу Лагранжа

Dyi/Dxi=(f(xi)-f(xi-1))/(xi-xi-1)ºf’(xi), где xi-1<xi< xi; Þ

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Dsi=Ö1+f’2(xi) Dxi;

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru DPi=2p(yi-1+ yi)/2Ö1+f’2(xi) Dxi.

Площадь поверхности, описанной ломаной:

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru Pn=pi=1nå[f(xi-1)+f(xi)] Ö1+f’2(xi) Dxi.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено стремится к нулю – площадь поверхности вращения.

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru P = lim i=1nå[f(xi-1)+f(xi)] Ö1+f’2(xi) Dxi=

maxDsi®0

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. - student2.ru lim p i=1nå2f(xi) Ö1+f’2(xi) Dxi

maxDsi®0

или P=2pabòf(x) Ö1+f’2(xi) dx.

Площадь плоской фигуры (в декартовых координатах). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и линиями x=a, x=b. Sтрап=abòf(x)dx.

Трапеция ограничена только линиями x=a;y=f1(x);f1(x)£f2(x) и x=b;y= f2(x);"xÎ[a,b].

Трапеция ограничена горизонтальными линиями y=c x=y1(y); y=d x=y2(y)

y1=y2 ; yÎ[c,d] S=cdò(y2(y)- y1(y))dy.

В полярных координатах. Пусть дана кривая p=p(j), ограниченная линиями j=a; j=b. jÎ[a; b] , a<b. A=A0®A1®A2® ®An=B; a=j0<j1<…<jn=b;

[jk; jk+1]Î[a; b]; S=åDSk; DSk=1/2p(jk)*p(jk+1)sinjk.

S=1/2åp2(j’ k)* Djk®1/2 abòp’(j)dj.

15. Дифференциальные уравнения первого порядка с раз­деляющимися перемен­ными и однородные.

Порядком диф-го урав-я- наз-ся наивысший порядок произ-й, вход-й в диф-е ур-е.

Уравнения первого порядка: y’=f(x, y).

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

f(x, y)=f1(x)*f2(y)~dy/dx=f1(x)*f2(y)~dy/dx=f1(x)dx

y’=dy/dx; ∫dy/dx=∫f1(x)dx; φ2(y)=φ1(x)+C

2.Однородные уравнения первого порядка.

f(x, y)=f’(y/x)

Для того, чтобы найти реш-е однородного диф-го ур-я, делается замена y/x=uÞy=xu.(xu)`=f(u), u+xu`=f(u), xu`=f(u)-u, x(du)/dx=f(x)-u. du/(f(u)-u)=dx/x. G(u)=Ln½x½+c. G(y/x)=Ln½x½+c- общее реш-е.

Наши рекомендации