Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница

Метод заключается в вычислении первообразной для подынтегральной функции (т.е. в вычислении неопределенного интеграла) и применении затем формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 22.

Вычислить

Пример 23.

Вычислить

Пример 24.

Вычислить

=

Замена переменной в определенном интеграле

Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путём преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле, при этом пределы интегрирования изменяются и при вычислении интеграла возврат к старому аргументу не проводится.

Пример 25.

Пример 26.

Пример 27.

=

Интегрирование по частям для определенного интеграла

Метод заключается в применении формулы интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 28.

Пример 29.

Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если на то

где площадь криволинейной трапеции (рис. 1).

Рассмотрим теперь случай, когда на

Тогда на Графики этих функций симметричны относительно оси и поэтому площадь

равна площади (рис. 8), а следовательно,

или

Тогда в общем случае, когда функция меняет знак на например (рис. 9), имеем:

Пусть теперь фигура ограничена графиком функции (сверху) и (снизу), прямыми и (рис. 10). Найдем ее площадь.

Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (рис. 11). После этого переноса ее ограничивают графики функций и

При переносе площадь не меняется и поэтому

площ. площ.

=

Пример 30.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

и

Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений

{	y=4x—x2   y=x2—6

(эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и потому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол).

Из этой системы получаем:

откуда

Тогда искомая площадь будет равна:

=

Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что отрезок интегрирования является конечным. Если промежуток интегрирования бесконечен, то требуется специальное определение таких интегралов - они называются несобственными.

Определение. Пусть функция непрерывна на Тогда полагают:

Если этот предел равен числу, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если этот предел равен бесконечности или не существует, то - расходящимся.

Пример 31.

т.е. интеграл сходится.

Пример 32.

т.е. интеграл расходится.

Есть и другие варианты несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования - они определяются аналогично:

Пример 33.

(см. график ) =

Замечание.Геометрический смысл интеграла сохраняется и для несобственных интегралов - это «площадь» криволинейной трапеции, «уходящей в бесконечность», ограниченной графиком подынтегральной функции и промежутком интегрирования.

Часть 5. Задания к контрольной работе

Задание №1. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

№ ва- риан- та	а	б	в

Задание №2. Найти производную данной функции.

№ ва- риан- та	а	б	в

Задание №3.Составить уравнения касательных к линии в точках х₁ и х₂

№ ва- риан- та		Х1	Х2
		-1
		-2

Задание №4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

№ ва- риан- та		значения чисел
а	b
		-2,5	1,5
		-1
		-6
		-2
			e

Задание №5.Исследовать функции и построить их график

№ ва- риан- та

Задание №6.Найти неопределенные интегралы

№ ва- риан- та	а	б	в
Способ подстановки	Интегрирование по частям

Задание №7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

№ ва- риан- та	Уравнения линий
	, ,
	, у=0 , х=5
	, х=0
	, х= - 2, х=4, у=0
	,
	, у=9, у=4, х=0
	,
	,
	, х=16, х=25, у=0
	, у=0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования «Тюменский индустриальный университет»

Нефтегазовый колледж им. Ю.Г. Эрвье

Заочное отделение

Контрольная работа №1

По дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

Вариант №__

Выполнил:

Студент __ курса

Группы________

_______________

Проверил:

Преподаватель

Калистова А.В.