Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
где
Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].
1. 
2. 
где k - константа;
3. 
4. 
5. Если 
для всех 
, то 
.
6. 
7. 
8. Если 
в интервале [a, b], то 
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
 |  | |
| Рис.1 | Рис.2 |
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
Замена переменной в определенном интеграле
Определенный интеграл 
по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).
Интегрирование по частям для определенного интеграла
В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:
где 
означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.
Пример 1
Вычислить интеграл 
.
Решение.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
Пример 2
Вычислить интеграл 
.
Решение.
Пример 3
Вычислить интеграл 
.
Решение.
Сделаем замену:
Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:
Пример 4
Вычислить интеграл 
.
Решение.
Запишем интеграл в виде
Используем интегрирование по частям: 
. В нашем случае пусть будет
Следовательно, интеграл равен
Пример 5
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и 
.
Решение.
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
 |  | |
| Рис.3 | Рис.4 |
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций 
и 
.
Решение.
Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).
Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией 
. Следовательно, площадь этой области равна
