Основные числовые характеристики случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать о случайной величине лишь характерные черты закона распределения, которые в сжатой форме выражают существенные особенности распределения.
О каждой случайной величине необходимо, прежде всего, знать ее среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины, а также число, характеризующее степень разбросанностивозможных значений относительно среднего значения случайной величины. Для более полного описания случайной величины используют и другие числовые характеристики.
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданиемили средним значением дискретной случайнойвеличины Х называется число
Если же дискретная случайнаявеличина Х имеет n возможных значений, то
Таким образом, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих значений.
Математическим ожиданием непрерывной случайнойвеличины Х называется число
Если же возможные значения непрерывной случайнойвеличины Х принадлежат лишь отрезку [ a ;b], то
Пример 12.Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности.
Найти М[X].
Решение.
Простейшие свойства математического ожидания.
Свойство1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, то есть М[C]=С.
Свойство2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть М[СX]=СM[X].
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Дисперсиейслучайной величины Х называется число, характеризующее степень разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания, обозначаемое D[X] и равное D[X]=M[(X-M[X])2].
Следовательно, для дискретной случайнойвеличины D[X] находят по формуле
mx – математическое ожидание M[X].
Для непрерывной случайнойвеличины
Средним квадратическим отклонениемслучайной величины Х называется число σx = , где Dx=D[X].
Среднее квадратическое отклонение σx также характеризует степень отклонения возможных значений случайной величины относительно ее mx, но имеет размерность случайной величины.
Простейшие свойства дисперсии.
Свойство1. Дисперсия постояннойвеличины равна нулю. D[C]=0
Свойство2. Постоянный множительможно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е. D[СX]=С2D[X].
Свойство3. Dx=M[X2]-mx2.
Пример 13.Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения
Решение.
Воспользуемся формулой Dx=M[X2]-mx2.
Найдем М[X]=(-3)·0,2+(-1)·0,5+2·0,3=-0,5;
M[X2]=(-3)2·0,2+(-1)2·0,5+22·0,3=3,5; следовательно,
Dx=3,5-(-0,5)2=3,5-0,25=3,25. Можно вычислить σx = = ≈ 1,80.
Таблица соотношения начальной буквы фамилии студента и варианта контрольных заданий
| Начальная буква фамилии | Вариант задания |
| А, Е, Л | Первый |
| Р, Х, Э | Второй |
| Б, Ж, М | Третий |
| С, Ц, Ю | Четвертый |
| В, З, Н | Пятый |
| Т, Ч | Шестой |
| Г, И, О | Седьмой |
| П, У, Ш | Восьмой |
| Д, Щ, | Девятый |
| Ф, К, Я | Десятый |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ №1. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий.
1. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы один раз, купив 3 билета?
2. У шести животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0,98. Какова вероятность того, что:
а) выздоровят все шестеро животных,
б) выздоровят четверо?
3. В магазине работают 2 мужчин и 7 женщин. Трое из них должны пойти в отпуск летом. Кто именно – определяется жребием. Найти вероятность того, что летом в отпуск пойдет хотя бы один мужчина.
4. Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди ни окажется:
а) хотя бы один неверно оформленный документ,
б) только один неверно оформленный документ.
5. Рабочий обслуживает 3 станка, каждый из которых работает независимо друг от друга. Вероятность того, что станки потребуют ремонта равна соответственно: 0,4; 0,3; 0,2. Найти вероятность того, что придется ремонтировать все станки.
6. Среди 15 счетов 3 счета оформлены неверно. Ревизор наудачу берет 5 счетов. Найти вероятность того, что среди взятых счетов:
а) два оформлены неверно,
б) все оформлены верно.
7. В пачке 10 тетрадей, среди них 4 тетради в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех тетрадей хотя бы одна будет в клетку.
8. Из 20 методичек по математике 3 по теории вероятностей. Студент наудачу взял две методички.
Найти вероятность того, что среди взятых:
а) нет методичек по теории вероятностей,
б) есть одна методичка по теории вероятностей.
9.Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных работников необходимо сформировать комитет из 10 человек. Найти вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четыре научных работника.
10.В урне лежат 5 красных, 7 синих и 11 белых шаров. Какова вероятность, что вынутый шар окажется не белым?
ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события.
1. Первый рабочий изготовил 40 деталей. Из которых 40 деталей, из которых 4 бракованных. Второй абочий изготовил 30 таких же деталей, из которых 2 бракованных. Все изготовленные детали положены в одну тару и доставлены в ОТК. Найти вероятность того, что деталь, взятая на удачу контролером ТК, соответствует ГОСТу.
2. Сборщик получил 3 ящика деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором– 50, из них 10 окрашенных; в третьем – 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.
3. На трех пресс-формах изготавливают детали, причем на первой вырабатывается 50% всех деталей; на второй 30% и на третьей – 20%. При этом вероятность появления брака с первой пресс-формы составляет 0,05; со второй – 0,08; с третьей – 0,1. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа изготовленных, соответствует стандарту.
4.Радиолампа поступает с одного из двух заводов с вероятностью 0,4 и 0,6 соответственно. Вероятность бесперебойной работы лампы составляет: для лампы первого завода – 0,1; второго завода – 0,2. Найти вероятность того, что лампа работает бесперебойно.
5. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь будет бракованной?
6. Две литейные машины изготавливают по 250 однотипных отливок в смену, которые хранятся в одном месте. Для первой машины брак составляет 3%, а для второй – 2%. Найти вероятность того, что на удачу взятая отливка будет годной.
7. На сборку поступают детали из трёх заготовительных цехов. Известно, что первый цех даёт 3% брака, второй -2%, третий-1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если каждый цех поставляет, соответственно, 500, 200 и 300 деталей.
8. На складе хранятся 800 изделий завода №1 и 1200 изделий завода №2. Среди изделий завода №1 в среднем 95% высшего качества, а среди изделий завода №2 – 80%. Чему равна вероятность того, что первое принесённое со склада окажется низкого качества.
9. Трое рабочих за смену изготовили 60 деталей. Производительность рабочих относится как 1:2:3. Первый рабочий изготавливает в среднем 95% годных деталей, второй 85% и третий - 90%. Найти вероятность того, что наудачу взятая из числа изготовленных за смену деталь низкого качества.
10. Среди 100 деталей, изготовленных цехом №1, 85 деталей проходит закалку. Из числа 120 таких же деталей, изготовленных цехом №2, закалку проходят 95 деталей. Все эти детали поступают на сборку. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь, прошла предварительную закалку?
ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа.
1. Вероятность малому предприятию быть банкротом равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий сохранятся:
а) два,
б) более двух.
2. На факультете насчитывается 1825 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения четырех студентов.
3. В среднем 20% пакетов акций продаются на аукционе по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций по первоначальной цене будет продано:
а) менее 2 пакетов,
б) хотя бы один пакет.
4. В поселке из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 300 имеют холодильники.
5. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число поврежденных при транспортировке изделий составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено:
а) 3,
б) менее трех.
6. Предполагается, что 10%новых малых предприятий прекращают деятельность в течение года.
Найти вероятность того, что из 6 предприятий 2прекратят деятельность.
7. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая страховая сумма будет выплачена по:
а) трем договорам,
б) менее двум договорам.
8.Контрольную работу по математике успешно выполняют 70 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу выполнят 180.
9.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что в учебнике есть опечатки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит:
а) 5 бракованных книг,
б) менее двух бракованных книг.
10. При проверке установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн. руб.
Найти вероятность того, что среди 1800 банков такой уставной фонд имеют:
а) не менее 300,
б)от 300 до 400.
ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины.
1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Записать закон распределение Х – числа попаданий в цель при 4 выстрелах. Составить функцию распределения случайной величины F(x). Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
2. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Записать закон распределение Х – количества библиотек ,которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Составить функцию распределения случайной величины F(x). Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
4. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
5. Студенту задается 3 вопроса. Вероятность ответа на каждый из них составляет 0,9. Записать закон распределение Х – числа ответов студента. Составить функцию распределения случайной величины F(x). Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
6. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
7. Клиенты банка не возвращают кредиты с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа Х возвращенных кредитов из 4 выданных. Составить функцию распределения случайной величины F(x). Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
8. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
9. Из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, вынимают на удачу 3 шара. Найти закон распределения Х – числа вынутых черных шаров. Составить функцию распределения случайной величины F(x). Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
10. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), Д(Х), sх.
ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения.
По данному статистическому распределению выборки вычислить:
а) выборочную среднюю,
б) выборочную дисперсию,
с) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Построить полигон частот или гистограмму.
1.
| xi | |||||||
| ni |
| xi | |||||||
| ni |
3.
| xi | 10,3 | 11,0 | 11,7 | 12,4 | 13,1 | 13,8 | 14,5 |
| ni |
| xi | 11,5 | 12,0 | 12,5 | 13,0 | 13,5 | 14,0 | 14,5 |
| ni |
.
5.
| xi | |||||||
| ni |
6.
| xi | 200-210 | 210-220 | 220-230 | 230-240 | 240-250 | 250-260 |
| ni |
7.
| xi | 190-200 | 200-210 | 210-220 | 220-230 | 230-240 | 240-250 |
| ni |
8.
| xi | 6-8 | 8-10 | 10-12 | 12-14 | 14-16 | 16-18 |
| ni |
9.
| xi | 0-3 | 3-6 | 6-9 | 9-12 | 12-15 | 15-18 |
| ni |
10.
| xi | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
| ni |
ЗАДАНИЕ №6 Решить дифференциальное уравнение
| Вари-ант | задание | Вари-ант | задание |
| а) б) | а) 2xy dy = (x2 + y2) dx б) y/ + y cos x = sin 2x | ||
| а) б) | а) – 3x dx – 2xy2 dx = 3x2y dy б) | ||
| а) ; б) x dy + (2y – x) dx = 0 | а) б) (x+y) dx + x dy = 0 | ||
| а) ; б) | а) б) (5 + ex)yy/ = ex | ||
| а) (x + y+ dx + (y – x) dy = 0 б) | а) x dy = (x + 2y) dx б) x dy – y dx = dx |
РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная:
1. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2006. - 448 с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2004. - 404 с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В.Е.Гмурман. - 10-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 404 с.: ил.
4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е.Гмурман. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 404 с.
5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с. : ил.
6. Коробейникова, И.Ю. Теория вероятностей. Случайные величины: учеб. пособие / И.Ю.Коробейникова, Г.А.Трубецкая. - Челябинск: АТОКСО, 2004. - 86с.
7. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2006. - 573 с.
8. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / Н.Ш.Кремер. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 543 с.
9. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. вузов / Н.Ш.Кремер. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2007. - 551 с.
Дополнительная:
1. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: учеб. / Б.В.Гнеденко. - 7-е изд., испр. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 318 с.
2. Емельянов, Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / Г.В.Емельянов, В.П.Скитович. - 2-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 331 с.
3. Золотаревская, Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями: учеб. пособие / Д.И.Золотаревская. - 4-е изд., стереотип. - М.: УРСС, 2006. - 166 с.
4. Кожевников, Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / Ю.В.Кожевников. - М.: Машиностроение, 2002. - 414 с.Коротков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Е.С.Коротков, С.О.Смерчинская, В.В.Соколов. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.
5. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учеб. пособие / Е.С.Кочетков, С.О.Смерчинская. - М.: Форум - Инфра-М, 2005. - 479 с.
6. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Учебник / М.С.Красс, Б.П.Чупрынов – М.: Дело, 2000
7. Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика / Ю.А.Розанов. – М.: Наука, 2000.
8. Свешников, А.А. Прикладные методы теории марковских процессов: учеб. пособие / А.А.Свешников. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 189 с.
Приложение 1
Список вопросов
1. Основные формулы комбинаторики.
2. Классическое определение вероятности.
3. Основные теоремы теории вероятностей.
4. Понятия случайной величины.
5. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
6. Непрерывная случайная величина и ее характеристики.
7. Основные законы распределения.
8. Неравенство Маркова.
9. Неравенство Чебышева
10. Центральная предельная теорема.
11. Закон больших чисел.
12. Случайный процесс и его характеристики.
13. Основные понятия теории массового обслуживания.
14. Понятие Марковского процесса.
15. Понятие вариационного ряда и его построение.
16. Показатели вариации.
17. Начальные и центральные моменты вариационного ряда.
18. Типы выборок и способы их отбора.
19. Несмещённость, эффективность и состоятельность оценок.
20. Построение гистограммы и полигонов частот.
21. Доверительные интервалы.