Числовые характеристики случайной величины

Функция распределения или плотность распределения полностью описывают случайную величину. Часто, однако, при решении практических задач нет необходимости в полном знании закона распределения, достаточно знать лишь некоторые его характерные черты. Для этого в теории вероятностей используются числовые характеристики случайной величины, выражающие различные свойства закона распределения. Основными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожиданиехарактеризует положение случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения.

Математическое ожидание случайной величины X обозначают символами М(Х)или т. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется с помощью несобственного интеграла:

Исходя из определений, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств математического ожидания:

1. (математическое ожидание неслучайной величины с равно самой неслучайной величине).

2. Если ³0, то ³0.

3. .

4. Если и независимы, то .

Пример 3.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:

X
p	0.2	0.4	0.3	0.1

Решение.

=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.

Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной плотностью распределения:

.

Решение.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонениеявляются характеристиками рассеивания случайной величины, они характеризуют разброс ее возможных значений относительно математического ожидания.

Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой:

(3.3)

а для непрерывной – интегралом

(3.4)

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, совпадающей по размерности со случайной величиной, служит среднее квадратическое отклонение.

Свойства дисперсии:

1) – постоянные. В частности,

2)

3)

В частности,

(3.5)

Заметим, что вычисление дисперсии по формуле (3.5) часто оказывается более удобным, чем по формуле (3.3) или (3.4).

Величина называется ковариацией случайных величин .

Если , то величина

называется коэффициентом корреляции случайных величин .

Можно показать, что если , то величины линейно зависимы: где

Отметим, что если независимы, то

и

Пример 3.5. Найти дисперсию случайной величины, заданной рядом распределения из примера 1.

Решение. Чтобы вычислить дисперсию, необходимо знать математическое ожидание. Для данной случайной величины выше было найдено: m=1.3. Вычисляем дисперсию по формуле (3.5):

Пример 3.6. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Находим сначала математическое ожидание:

(как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку).

Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Примеры дискретных распределений

1. Биномиальное распределение. Случайная величина , равная числу «УСПЕХОВ» в схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение: , .

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону, равно

.

Дисперсия этого распределения равна .

2. Распределение Пуассона ,

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона , .

Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства, например: число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий и т.д.

3. Геометрическое распределение

Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

Примеры непрерывных распределений

1. Равномерное распределение. Плотность равномерного или прямоугольного распределения:

,

т.е. вероятности всех возможных значений случайной величины одинаковы и равны .

Математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением равно

,

дисперсия .

Функция распределения имеет вид , (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Графики плотности и функции равномерного распределения

2. Показательное (экспоненциальное) распределение -закон, функция плотности распределения которого имеет вид: , где параметр распределения есть действительное число (постоянный параметр) (рис. 3.6).

Функция распределения показательного закона имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону, равны соответственно , .

Рис. 3.6. Графики плотности и функции показательного распределения

3. Нормальное распределение.Нормальный закон распределения вероятностей занимает особое место среди других законов распределения. В теории вероятности доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых (т.е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределению независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. М. Ляпунова).

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид: , где и – вещественные параметры распределения, имеющие конечные значения, при этом часто используют обозначение .

Функция распределения записывается в виде

,

Здесь – табулированный интеграл вероятности (значения интеграла можно найти во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей). Функция и плотность нормального распределения изображены на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Графики плотности и функции нормального распределения

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно , дисперсия . Таким образом, параметры и имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического значения (отклонения) случайной величины.

Распределение, описываемое функцией , называется нормальным или распределением Гаусса.

На рис.3.8 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения .

Рис. 3.8. Кривые нормального распределения, .

Из рис. 3.8 видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов.

Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Свойства нормального распределения.

А. Если случайная величина .

В. Если случайная величина то

В частности, .

Таким образом, вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения . Она обладает следующими свойствами:

С. Если , то для любого

D.Правило трех сигм. Если то

Большого смысла в запоминании числа 0.0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от до .

Пример 3.7. Дана случайная величина . Найти .

Решение. По формуле свойства В при получаем По таблице для функции Лапласа находим .

Пример 3.8.Случайная величина X – отклонение размера изделия от нормы – нормально распределенная, причём М (Х)= 0. Найти s (Х), если известно, что Р(– 3 < X < 3) = 0.7.

Решение. Р(– 3 < X < 3) = Р( | X |< 3) = = 0.7. Отсюда следует, что , и, используя табличные данные (приложение 1), получаем 3/s =1.4, или s = 3/1.4 » 2.14.