Числовые характеристики случайной величины
Функция распределения или плотность распределения полностью описывают случайную величину. Часто, однако, при решении практических задач нет необходимости в полном знании закона распределения, достаточно знать лишь некоторые его характерные черты. Для этого в теории вероятностей используются числовые характеристики случайной величины, выражающие различные свойства закона распределения. Основными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожиданиехарактеризует положение случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения.
Математическое ожидание случайной величины X обозначают символами М(Х)или т. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется с помощью несобственного интеграла:
Исходя из определений, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств математического ожидания:
1. 
(математическое ожидание неслучайной величины с равно самой неслучайной величине).
2. Если 
³0, то 
³0.
3. 
.
4. Если и 
независимы, то 
.
Пример 3.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
Решение.
=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.
Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной плотностью распределения:
.
Решение. 
Дисперсия и среднее квадратическое отклонениеявляются характеристиками рассеивания случайной величины, они характеризуют разброс ее возможных значений относительно математического ожидания.
Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой:
(3.3)
а для непрерывной – интегралом
(3.4)
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, совпадающей по размерности со случайной величиной, служит среднее квадратическое отклонение.
Свойства дисперсии:
1) 
– постоянные. В частности,
2) 
3) 
В частности,
(3.5)
Заметим, что вычисление дисперсии по формуле (3.5) часто оказывается более удобным, чем по формуле (3.3) или (3.4).
Величина 
называется ковариацией случайных величин 
.
Если 
, то величина
называется коэффициентом корреляции случайных величин .
Можно показать, что если 
, то величины линейно зависимы: 
где 
Отметим, что если независимы, то
и 
Пример 3.5. Найти дисперсию случайной величины, заданной рядом распределения из примера 1.
Решение. Чтобы вычислить дисперсию, необходимо знать математическое ожидание. Для данной случайной величины выше было найдено: m=1.3. Вычисляем дисперсию по формуле (3.5):
Пример 3.6. Случайная величина задана плотностью распределения
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Находим сначала математическое ожидание:
(как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку).
Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
