Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x x1 x2 х3 хn
p р1 р2 р3 ... рn

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

рис.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Задача№1.Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

По условию:

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

Тогда:

 
  Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

x
p 0,6 0,38 0,56

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

Функция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Хназывается функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения:

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

x x1 x2 х3 хn
p р1 р2 р3 ... рn

то функция распределения F(x) определяется формулой:

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

… … …

1 при х> хn.

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

Её график изображен на рис.2:

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

рис.2

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение: Математическим ожиданием М(Х)дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

n

М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

i=1

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Определение: Дисперсией D(X)случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))2

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

n

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

i=1

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

Задача №2.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х -1
р 0,1 Р2 0,3 0,2 0,3

Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

Итак,

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

 
  Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru

рис. 3

Найдем числовые характеристики случайной величины:

n

М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn

κ=1

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

n

D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

κ=1

D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65

Числовые характеристики дискретной случайной величины - student2.ru ≈1,2845.

Наши рекомендации