Задача № 1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, его общий интеграл имеет вид
.
Уравнение , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:
.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
.
Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение .
Дифференциальное уравнение
,
где - постоянные, заменой переменных преобразуется в
уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на произведение
.
Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем
.
После потенцирования получим
или .
Откуда .
Обозначая , будем иметь или .
Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями.
Ответ: - общий интеграл.
Пример 2.
Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Имеем или .
Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение
.
Интегрируя, найдем общий интеграл
в качестве производной константы взяли .
После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения.
Найдем константу , используя начальное условие , или
отсюда .
Искомое частное решение или решение задачи Коши .
Ответ: .
Упражнения. Решить уравнения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: или .
Решить уравнения с разделяющимися переменными:
1. | . |
2. | . |
3. | . |
4. | . |
5. | . |
6. | . |
7. | . |
8. | . |
9. | . |
10. | . |
11. | . |
12. | . |
13. | . |
14. | . |
15. | . |
16. | . |
17. | . |
18. | . |
19. | . |
20. | . |
21. | . |
22. | . |
23. | . |
24. | . |
25. | . |
26. | . |
27. | . |
28. | . |
29. | . |
30. | . |
Задача 2. Однородные дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение (д.у.)
Называется однородным д.у. относительно и , если функция является однородной функцией своих аргументов нулевого измерения. Это значит
. Например функция - однородная
функция нулевого измерения.
Однородное д.у. всегда можно представить в виде
(1)
Введя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными:
или переменные разделяются.
Пример 3.
Решить уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим или .
Разделяя переменные, будем иметь .
Отсюда интегрированием находим
или
, так как , то обозначая , получим
. Заменяя на , будем иметь общий интеграл
, отсюда - общее решение.
Ответ: .
Упражнения. Решить уравнения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Соберем коэффициенты при . Ответ: .
Решить однородные дифференциальные уравнения.
1. | . |
2. | . |
3. | . |
4. | . |
5. | . |
6. | . |
7. | . |
8. | . |
9. | . |
10. | . |
11. | . |
12. | . |
13. | . |
14. | . |
15. | . |
16. | . |
17. | . |
18. | . |
19. | . |
20. | . |
21. | . |
22. | . |
23. | . |
24. | . |
25. | . |
26. | . |
27. | . |
28. | . |
29. | . |
30. | . |