Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Проинтегрировав, найдем y.
Пример.
Решение:
Пусть 
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается заменой
Подставим в исходное уравнение 
, получим
Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y.
Пример.
Решение:
Пусть
Тогда 
, так как
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается подстановкой:
Подставим полученное в уравнение 
:
Подставив в равенство 
значение функции u, получим дифференциальное уравнение с разделяющимся переменными, решив которое, найдем функцию v, а затем и функцию y.
Пример.
Решение:
Подставим в уравнение ,
Подставим значения uв равенство (2), получим:
Тогда,
Так как при x=1, 
, то подставив в общее решение, получим:
Подставим значение Cв общее решение, получим:
Проверка:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.
Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Пример 1.
Пример 2.
Уравнения этого типа решаются заменой переменной 
Следовательно,
Подставим в дифференциальное уравнение 
.
Подставив значение zв дифференциальное уравнение , найдем функцию y.
Пример.
Решение:
Так как при x= 1, y = 0 и при x = 1, 
, то
Ответ: 
.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Это дифференциальные уравнения вида:
При 
получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Для его решения составим характеристическое уравнение:
При его решении возможны следующие три случая:
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле:
2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле:
Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:
3. 
, то корни комплексно - сопряженные.
Тогда общее решение находится по формуле:
Пример 1.
Решение:
При 
При 
Ответ: 
Пример 2.
Решение:
2 способ:
При 
При 
Ответ: 
Пример 3.
Решение:
При
Ответ: 