Наивероятнейшее число наступлений события

Наивероятнейшее число m₀ определяется из двойного неравенства

np - q m₀ np + p (9)

Формула Пуассона(лучше использовать при .)

Теорема :Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и близка к нулю (р ), а число независимых испытаний n достаточно велико ( ), причем произведение np стремится к постоянному числу то вероятность P_n(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна: (11)

Локальная теорема Муавра-Лапласа(рекомендуется применять при npq ).

Пусть в серии из n независимых испытаний вероятность наступления события А в каждом испытании равна р (0<p<1), q=1-p, . Если и величина является ограниченной, тогда (12).

Таблица значений функции приведена в приложении. Функция является четной, т.е = , монотонно убывающей при х>4 практически .

Интегральная теорема Муавра-Лапласа(удобно применять при npq ).

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где - функция Лапласа. Таблица значений функции приведена в приложении. Функция является нечетной, т.е =- .Если х>4, то в силу монотонного возрастания функции .

Решение задач:

Полагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти вероятности следующих событий:

1) а) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз;

б) при 12 выстрелах мишень будет поражена менее 4 раз;

в) при 12 выстрелах мишень будет поражена не более 8 раз;

2) Наивероятнейшее число выстрелов, которые поразят мишень при 125 сделанных выстрелах. И вероятность этого числа попаданий.

3) При 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 110, но не более 130 раз.

4) При 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз;

5) При 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 115 раз.

6) На стрельбы пришла Полина Александровна. Для нее вероятность попадания в мишень равна 0,04. Найти вероятность того, что из 200 выстрелов Полина Александровна попадет в мишень 10 раз.

Решение:

1)воспользуемся формулами Бернулли:

а) Р₁₂(7)= ;

б) при 12 выстрелах мишень будет поражена менее 4 раз означает, что мишень будет поражена 0, 1, 2 или 3 раза. Ищем Р₁₂(0)+Р₁₂(1)+Р₁₂(2)+Р₁₂(3)= + + + 0,000017+0,000302+0,002491+0,012457=0,12738.

в) при 12 выстрелах мишень поражена не более 8 раз означает, что она поражена 0,1,2,…,8 раз. Вычисление каждой из этих вероятностей и их последующее суммирование приведет к очень громоздким вычислениям. Противоположным событием будет событие, состоящее в том, что мишень поражена более 8 раз, т.е. 9, 10, 11 или 12.

Найдем Р₁₂(9)+Р₁₂(10)+Р₁₂(11)+Р₁₂(12)= + 0,14189+0,06385+0,01741+

+0,002177=0,225331. Нас интересует вероятность противоположного события, т.е. искомая вероятность равна 1- (Р₁₂(9)+Р₁₂(10)+Р₁₂(11)+Р₁₂(12)) .

2)Наивероятнейшее число выстрелов, которые поразят мишень при 125 сделанных выстрелах. Воспользуемся формулой : np - q m₀ np + p.Подставив в формулу n=125, р=0,6, q=0,4, получим 74,6 m₀ 75,6. Следовательно, наивероятнейшее число попаданий будет равно 75.

Найдем Т.к. n=200 достаточно велико (условие ), применяем локальную теорему Муавра-Лапласа. Сначала определим .Тогда по формуле .

Значение найдено по табл.1 приложений.

3) Найдем вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 110, но не более 130 раз. Так как количество выстрелов и количество попаданий достаточно велико, применение формулы Бернулли будет связано с большими трудностями. Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k₁=110, k₂=130.

.

Теперь по формуле (15)и учитывая свойства Ф(х), получим

Р₂₀₀

(по таблице 2 приложений, Ф(1,44) ).

4) При 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз. Ищем Р₂₀₀. . Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k₁=0, k₂=110.

.

5) Вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 115 раз будем искать, также применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Задачи в классе. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k₁=115, k₂=200.

.

6)На стрельбы пришла Полина Александровна. Для нее вероятность попадания в мишень равна 0,04. Найти вероятность того, что из 200 выстрелов Полина Александровна попадет в мишень 10 раз.

р=0,04, q=0,96, n=200, m=10.

Т.к. n=200 достаточно велико (условие ), применяем теорему Пуассона , где . . Значение Р₁₀(8) берем из таблицы в приложении III.

Тема 6.