Занятие № 14. Числовые характеристики случайной величины.

Задания:

1. Вычислить числовые характеристики для случайных величин, рассмотренных на занятиях 12 и 13.

2. Случайная величина ξ принимает три значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂ =6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, если известно, что Мξ=8.

3. Составить закон распределения случайной величины ξ , которая может принимать только два значения: х₁ с вероятностью р₁=0,1 и х₂ с вероятностью р₂, причем х₁<х₂. Математическое ожидание Мξ=5,5, дисперсия Dξ=2,25.

4. Составить закон распределения случайной величины ξ , которая может принимать только два значения: х₁ с вероятностью р₁=0,2 и х₂ с вероятностью р₂, причем х₁<х₂. Математическое ожидание Мξ=2,6 и среднее квадратическое отклонение 0,8.

Занятие № 15. Основные распределения.

Задания:

1. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0;1] . Найти: а) плотность вероятности p(x); б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание Mξ и дисперсию Dξ. Чему равны вероятности случайных событий {ξ≤ 1/4} и {|ξ| ≤1/4}? Постройте графики функций p(x) и F(x).

2. Случайная величина ξ распределена равномерно. Известны значения её числовых характеристик: Mξ=4 и Dξ=3. Запишите уравнение плотности вероятности случайной величины ξ.

3. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины ξ равно а=3 и среднее квадратическое отклонение σ=2. Написать плотность вероятности ξ.

4. Нормально распределенная случайная величина ξ задана плотностью р(x)= . Найти математическое ожидание и дисперсию ξ.

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины ξ соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания ξ примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

6. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали ξ, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

7. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения ξ подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

8. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение ξ диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ=0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

9. Случайная величина ξ распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания ξ в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания ξ в интервал (0, 10)?

10. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а=10 и средним квадратическим отклонением σ=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина ξ в результате испытания.

11. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ=5.

12. Непрерывная случайная величина ξ распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = 3e^-3х при х≥0; при x<0 f(x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания ξ попадает в интервал (0,13, 0,7).

Занятие № 16. Контрольная работа № 2.

Литература

1. Валеев С. Г. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.-метод. комплекс/ С. Г. Валеев; Ульян. гос. техн. ун-т; Ин-т дистанционного образования. - ВУЗ/изд. - Ульяновск: УлГТУ, 2005. - 112 с.

2. Горелова Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учеб. пособие для вузов/ Г. В. Горелова, И. А. Кацко. - Изд. 4-е; Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2006. - 478 с.

3. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. - 3-е изд., перераб. и доп.; Гриф УМО. - М.: КНОРУС, 2009. - 376 с.

4. Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов/ В. Ю. Королев; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова; Фак. вычислит. математики и кибернетики. - Гриф МО. - М.: Проспект, 2008. - 160 с.

5. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник/ Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. - 2-е изд., испр. и перераб.; Гриф МО. - М.: Форум, 2008. - 239 с.

6. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика = Probability Theory and Mathematical Statistics: учеб. для вузов/ Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп.; Гриф МО. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. - 551 с.

7. Соколов Г. А. Теория вероятностей: учеб. для вузов / Г. А. Соколов, Н. А. Чистякова. - Гриф УМО. - М.: Экзамен, 2005. - 414 с.

8. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей: учеб. пособие для вузов / В. Н. Тутубалин. - М.: Академия, 2008. - 359 с.