Формулы полной вероятности и Байеса

3.1. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с прицелом равна 0,95, а без – 0,8. Найти вероятность попадания в цель из наудачу выбранной винтовки.

3.2. Три цеха по пошиву обуви производят 25%, 35% и 40% продукции. Брак их продукции составляет соответст­венно 5%, 4% и 3%. Какова вероятность того, что слу­чайно выбранная пара обуви будет бракованной?

3.3. В условиях задачи 3.2. найти вероятность изготовления пары обуви цехами, если она оказалась бракованной.

3.4. Для участия в студенческих спортивных соревнова­ниях выделено из первой группы четыре студента, из

99 100

второй – шесть, из третьей – пять. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он веро­ятнее всего принадлежит?

3.5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стан­дарту, равна 0,96. Используется упрощенная схема контроля, которая дает положительный результат с ве­роятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стан­дарту и с вероятностью 0,05 для изделий, не удовле­творяющих стандарту. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стан­дарту?

3.6. На трех автоматических линиях изготавливаются оди­на­ковые детали в одинаковых количествах. Вероят­ность брака для первой линии равна 0,002; для второй– 0,001; для третьей – 0,005. Найти вероятность того, что: а) нау­дачу взятая деталь окажется стандартной; б) наудачу взя­тая стандартная деталь оказалась с первой линии.

3.7. Вся продукция фабрики выпускается станками трех ти­пов. На станках первого типа выпускается 30% всей про­дукции, на станках второго – 20%. станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2 %. найти вероятность того, что: а) наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным; б) нау­гад взятая бракованная деталь выпущена станками первого типа.

3.8. Из урны, содержащей 2 белых и 1 черный шар, пере­кладывают шар в урну, содержащую 2 черных и 1 бе­лый шар. Определить вероятность извлечь черный шар из второй урны после указанного перекладывания.

3.9. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

3.10. Три организации представили в контрольное управле­ние счета для выборочной проверки: первая – 15 сче­тов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Какова вероятность, что наугад выбранный счет окажется правильным?

3.11. В условиях задачи 3.9. был выбран счет, и он оказался правильным. Определите вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

3.12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетвори­тельно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный– на 16, удовлетворительно – на 10, плохо – на 5. Вы­званный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

3.13. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантированного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

3.14. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий. Для любого из 6 орудий первой группы вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Для любого из 4 орудий второй группы эта вероятность равна 0,9. Наудачу выбранное орудие произвело два выстрела по цели, в результате чего были зафиксированы два попадания. Найти вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит: а) первой группе; б) второй группе.

3.15. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.