Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Формула полной вероятности позволяет получить формулу для безусловной вероятности события А когда известен ряд его условных вероятностей.

Определение: События Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru будем называть полной системой событий, если

1. Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

2. Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Пусть известны безусловные вероятности Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru и условные вероятности Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru события А, тогда

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Последнее выражение называется формулой полной вероятности.

Теперь выразим Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru через Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru и Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Вероятности Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru принято называть априорными, а вероятности Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru - апостериорными.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Последнее выражение называется формулой Байеса.

Пример 3.Задача о наилучшем выборе

Предположим, что имеется m предметов, сравнивая которые наблюдатель может сказать, который предмет лучше или хуже. Наблюдатель последовательно осматривает предметы, причем, осмотрев и отвергнув некоторый предмет, нельзя к нему возвращаться. Дополнительно существует еще одно правило: нельзя останавливать свой выбор на предмете, который хуже какого-нибудь осмотренного предмета. Предположим, что, следуя описанной процедуре, наблюдатель сделал выбор, остановившись на k-ом предмете, т.е. последний из осмотренных k-ый предмет является наилучшим среди всех осмотренных. Какова вероятность, что этот выбранный предмет является наилучшим среди всех m предметов?

Решение.

Обозначим В событие, состоящее в том, что k-ый предмет является наилучшим среди всех осмотренных. Наблюдателю известно, что событие В произошло. Обозначим А событие, состоящее в том, что k-ый предмет является наилучшим среди всех m предметов.

Надо найти Р(А/В)= Р(АВ)/ Р(В).

Всевозможные расположения предметов при осмотре будем считать равновероятными. Считая, что номер предмета в исходной совокупности определяет его качество, исходами эксперимента можно считать различные перестановки из m чисел.

Событие А содержится в В, поэтому Р(АВ)=Р(А) и Р(А/В)= Р(А)/ Р(В).

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru ; Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Пример 4:Задача о разорении игрока.

Рассмотрим игру следующего вида. Пусть некоторое случайное испытание имеет два исхода 0 и 1 с вероятностями p и q=1-p. Игрок выбирает исход (0 или 1), после чего производится испытание. Если результатом испытания является исход, выбранный игроком, то он выигрывает 1 у.е., в противном случае он проигрывает 1 у.е. Предположим, что начальный капитал игрока составляет n у.е. и игрок ставит себе целью довести его до а у.е. Игра продолжается до тех пор, пока либо игрок наберет заранее определенную сумму в а у.е., либо разорится проиграв n у.е.

Какова вероятность того, что в конце концов игрок разорится, так и не набрав желаемую сумму в а у.е.?

Обозначим искомую вероятность через p(n). Ясно, что p(n) зависит от начального капитала n и конечной суммы а.

На первом шаге игрок может либо выиграть, либо проиграть. Используя формулу полной вероятности, получим

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru ,

причем p(0)=1, p(a)=0.

Последнее уравнение является линейным разностным уравнением.

Для его решения необходимо решить характеристическое уравнение

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Если корни характеристического уравнения l1,l 2 различны, то решение разностного уравнения имеет вид

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Если корни характеристического уравнения одинаковы
l1=l 2=l, то решение разностного уравнения имеет вид

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Если корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru , то решение разностного уравнения имеет вид

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Решая характеристическое уравнение Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru , получим

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

и Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Используя граничные условия p(0)=1, p(a)=0, получим

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Поэтому Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Т.О. вероятность разорения имеет вид:

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Полученное решение справедливо при Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

При p=q=1/2 корни характеристического уравнения одинаковы l1=l 2=1 и решение разностного уравнения имеет вид

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru

Используя граничные условия Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru , получим

Формула полной вероятности. Формулы Байеса - student2.ru .

Наши рекомендации