Формула полной вероятности и формулы Байеса

Рассмотрим следующую задачу.

Пример 14. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом – 3 белых и 2 черных шара, во втором – 6 белых и 4 черных шара, в третьем – 2 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранного ящика наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. Пусть событие А означает, что вынутый шар белый. Нетрудно видеть, что вероятность этого события зависит от того, из какого ящика вынимается шар, так как количество белых и черных шаров в ящиках различно.
В связи с этим введем в рассмотрение следующие события:

Н₁ – шар вынут из первого ящика;

Н₂ – шар вынут из второго ящика;

Н₃ – шар вынут из третьего ящика.

Так как ящиков только три, то ясно, что события Н₁, Н₂ и Н₃ образуют полную группу (события несовместны, так как выбирается один шар, и в результате испытания: выбор одного шара, одно из этих событий обязательно произойдет). Кроме этого, эти события равновероятны, так как возможность выбора ящика с последующим взятием из него шара одинакова для всех трех ящиков. Таким образом, .

Событие А по условию задачи должно произойти с одним из событий Н₁, Н₂ или Н₃ (шар должен быть вынут либо из первого, либо из второго, либо из третьего ящика). Используя алгебру событий можно событие А записать в следующем виде: .

Последнее равенство по сути означает, что событие А произойдет тогда, когда белый шар будет вынут из первого ящика (Н₁А) или белый шар будет вынут из второго ящика (Н₂А) или белый шар будет вынут из третьего ящика (Н₃А). Найдем вероятность события А, получим

.

Последнее равенство следует из очевидной несовместности событий Н₁А, Н₂А и Н₃А. Применим далее теорему умножения вероятностей, тогда

.

Так как событие А/Н₁ означает, что выбран белый шар при условии, что его выбирают из первого ящика, то вероятность этого события по классической формуле равна . Аналогично можно найти и . Окончательно получаем . ■

В рассмотренном примере по существу приведен вывод так называемой формулы полной вероятности.

Теорема 10. Пусть Н₁, Н₂, …, Н_n – полная группа событий для некоторого испытания и событие А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива формула

(10.15)

Формула (10.15) носит название формулы полной вероятности, а события Н₁, Н₂, …, Н_n называются гипотезами.

Формула полной вероятности применяется в тех случаях, когда само испытание как бы распадается на два этапа: на первом этапе определяются возможные условия опыта, т.е. гипотезы, на втором происходит сам опыт одновременно с какой-то гипотезой.

Пример 15. Для приема зачета преподаватель подготовил 50 задач:
20 задач по дифференциальному и 30 задач по интегральному исчислению. Для получения зачета студент должен решить первую попавшуюся ему задачу.
Какова вероятность для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач по дифференциальному и 15 по интегральному исчислению?

Решение. Пусть событие А означает, что студент получит зачет, т.е. решит предложенную ему задачу. Задача может быть по одной из двух тем, поэтому гипотезами будут следующие события: Н₁ – получена задача по дифференциальному исчислению; Н₂ – получена задача по интегральному исчислению.

Так как по условию задачи имеется 20 задач по дифференциальному и
30 задач по интегральному исчислению, то

и .

Событие А/Н₁ означает, что студент решит задачу, если эта задача по дифференциальному исчислению, следовательно, .

Событие А/Н₂ означает, что студент решит задачу, если эта задача по интегральному исчислению, следовательно, .

По формуле (10.15) получим . ■

Обратимся к примеру 14 и несколько изменим его условие.

Пример 16. В условиях примера 14, предположим, что шар вынут и известно, что он оказался белым, т.е. событие А произошло. Какова вероятность того, что шар был вынут из первого ящика?

Таким образом, требуется найти вероятность того, что шар был вынут из первого ящика, если он оказался белым, т.е. найти Р(Н₁/А).

Необходимо различать две вероятности: Р(Н₁) и Р(Н₁/А).

Р(Н₁) – вероятность того, что шар будет вынут из первого ящика, т.е вероятность события Н₁, вычисленная до испытания.

Р(Н₁/А) – вероятность того, что шар был выбран из первого ящика, если он оказался белым, т.е. вероятность события Н₁, вычисленная при условии, что событие А уже произошло или, иначе, вероятность, вычисленная после опыта.

Аналогичные вероятности могут быть получены и для остальных гипотез Н₂ и Н₃ в примере и для Н_i , i = 1, 2, …, n в общем случае.

Вероятности гипотез Р(Н_i), i = 1, 2, …, n называются априорными вероятностями, т.е. «доопытными».

Условные вероятности гипотез Р(Н_i/A), i = 1, 2, …, n называются апостериорными вероятностями, т.е. «послеопытными».

Итак, в результате решения подобного рода задач, известные до опыта априорные вероятности гипотез Р(Н_i)подвергаются переоценке после того, как в результате испытания произошло событие А, т.е. происходит переход к апостериорным вероятностям гипотез Р(Н_i/A).

Выведем общую формулу для условных вероятностей гипотез.

Пусть Н₁, Н₂, …, Н_n – полная группа событий (гипотезы) для некоторого испытания. Событие А может произойти вместе с одним из событий полной группы, следовательно, . По теореме умножения вероятностей получим

, i = 1, 2, …, n.

Левые части последних равенств равны, следовательно, равны и их правые части, т.е. .

Отсюда, с учетом того, что , получаем

(16)

или, применяя к знаменателю формулу полной вероятности:

(17)

Формулы (10.16) и (10.17) называются формулами Байеса.

Формулы Байеса позволяют определить для любого события А, вероятность которого не равна нулю, условную вероятность Р(Н_i/A), когда известно, что событие А уже произошло в результате испытания.

Имеет место формула , так как события, вероятности которых суммируются в левой части предлагаемой формулы, образуют полную группу событий для данного испытания.

Вернемся к примеру 10.16 и найдем вероятность того, что шар был вынут из первого ящика: . ■

Формулы Байеса находят широкое применение. Так, например, если решается какая-то экономическая задача с недостаточной информацией, то по мере расширения информации может быть проведена и корректировка найденного ранее решения.