Решение задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса
| 4.1. Разобрать решение, заполнив пропуски | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 1.Пешеход, идущий из некоторого пункта  в пункт  , стоит на разветвлении дорог и выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис. 19. Какова вероятность того, что пешеход попадет в пункт . Решение. 
 . Обозначим через Если пешеход попадет в пункт Обозначим через Тогда условная вероятность прийти в Аналогично По формуле полной вероятности
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 2. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. Решение. Событие – мишень поражена, из наудачу взятой винтовки. Из условий задачи очевидно, что с рассматриваемым событием связаны гипотезы:  – взята винтовка с оптическим прицелом.  – взята винтовка без оптического прицела. Найдем вероятности гипотез (по классическому определению вероятности):   Проверим:  Гипотезы и образуют полную группу событий. По условию задачи условные вероятности события A относительно выдвинутых гипотез:   Искомая вероятность равна:  | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3.В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов, остальные – на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник. Решение. Будем считать гипотезой то, что данный отвечающий студент является отличником, – что он принадлежит ко второй группе,  – к третьей. Тогда вероятности гипотез равны (по классическому определению вероятности):  Проверим:  Понятно, что событие – правильный ответ на первый экзаменационный вопрос – может наступить совместно с одним из трех несовместных событий  . По условию задачи требуется найти вероятность события при условии, что произошло событие , т.е.  . Применим формулу Байеса:  Для этого из условия задачи найдем условную вероятность события при осуществлении каждой гипотезы и полную вероятность события :     Следовательно, | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4.Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем  сообщений «точка» и  сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка», б) принят сигнал «тире». Решение. Пусть событие  – принят сигнал «точка», а событие  – принят сигнал «тире». Можно сделать две гипотезы: – передан сигнал «точка». – передан сигнал «тире». По условию задачи требуется найти вероятность события при условии, что произошло событие , т.е.  , и вероятность события при условии, что произошло событие , т.е.  . Применим формулу Байеса:   По условию  . Но  Тогда Из условия задачи также известно, что     Вероятности событий и находим по формуле полной вероятности:   Искомые вероятности будут равны: а) б) | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5.Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал в течение  времени не выйдет из строя, равна 0,95, для незащищенного канала – 0,8. Найти вероятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение  времени, причем оба канала не защищены от воздействия помех. Решение. Пусть событие – оба канала не выйдут из строя в течение времени. Событие  – выбран защищенный канал. Событие  – выбран незащищенный канал. Запишем пространство элементарных событий для опыта – выбрано два канала:  . Возможные гипотезы: – оба канала защищены от воздействия помех. – первый выбранный канал защищен, второй выбранный канал не защищен от воздействия помех.  – первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех.  – оба канала не защищены от воздействия помех.       По условию задачи требуется найти вероятность события  при условии, что произошло событие , т.е.  . Применим формулу Байеса:  Для этого найдем вероятность события по формуле полной вероятности: Следовательно,  | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 6.Объект, за которым ведется наблюдение, может быть в одном из двух состояний: - функционирует, - не функционирует. Априорные вероятности этих состояний:  и  . Имеется два источника информации, которые приносят разноречивые сведения о состоянии объекта: первый источник сообщает, что объект не функционирует, второй, что функционирует. Первый источник дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,1, что ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает правильные сведения с вероятностью 0,7, а с вероятностью 0,3 – ошибочные. На основе анализа донесений найти новые вероятности гипотез. Решение. Обозначим через событие, которое произошло, т.е. – первый источник сообщил, объект не функционирует ( ), второй источник, что функционирует ( ). Событие  –  ый источник дает правильные сведения. Событие  –  ый источник дает ошибочные сведения. Событие при условии, что объект функционирует, означает, что первый источник дал ошибочные сведения, а второй – верные, т.е.  Событие при условии, что объект не функционирует, означает, что первый источник дал верные сведения, а второй – ошибочные, т.е.  По условию задачи требуется найти вероятности состояний объекта при условии, что произошло событие , т.е.  и  . Для этого найдем вероятность события по формуле полной вероятности: По формуле Байеса   В результате анализа стала значительно более вероятной вторая гипотеза: объект не функционирует. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 4.2. Решить задачу | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 7.В составе думы представлены3 партии (по 100, 150, 50 человек от 1-ой, 2-ой и 3-й партий соответственно). Кандидата на должность спикера поддерживают 50% представителей первой партии, 70% - второй партии и 10% - третьей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный член думы поддерживает выдвинутую кандидатуру на должность спикера думы? Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 8.Трое рабочих за смену изготовили 60 деталей. Производительность рабочих относится как 1:2:3. Первый рабочий изготавливает в среднем 95% годных деталей, второй 85% и третий 90%. Найти вероятность, того, что наудачу взятая из числа изготовленных за смену деталей низкого качества. Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 9.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 10.Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если он пойдет по первой дороге, то вероятность выхода из леса в течение часа равна 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса? Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 11.Страховая компания разделяет застрахованных потрем классам риска: 1 класс – малый риск, 2 класс – средний, 3 класс – большой риск. Среди всех клиентов компании 50% - первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность наступления страхового случая для первого класса равна 0,01, для второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова вероятность того, что клиент, получивший денежное вознаграждение за период страхования, относится к группе малого риска? Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
событие, состоящее в том, что при своем движении пешеход попадет в пункт 
. События 
образуют полную группу и очевидно, что они равновероятны (по условию один из путей 
выбирается произвольно). Поэтому 
(по классическому определению вероятности).
