Формула полной вероятности и формулы Байеса

Своеобразным обобщением формул сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. Суть в том, что часто бывает так, что опыт состоит из двух этапов.

Пример 21. Имеются две урны. В первой находятся 2 белых и 5 красных шаров; во второй – 7 белых и 3 красных. Наугад выбирается урна и извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар-красный?

В этой задаче сначала требуется выбрать урну (первый этап), а уж затем извлечь шар (второй этап). Для решения подобных задач и применяется формула полной вероятности.

Определение. Пусть событие А появляется вместе с событиями которые называются гипотезами, если они обладают двумя свойствами:

1) - в результате опыта какая-нибудь гипотеза осуществится обязательно,

2) - никакие две гипотезы вместе не происходят.

Следовательно, в результате опыта осуществляется одна и только одна какая - нибудь гипотеза, т.е. Р(

В примере 21 гипотезы: (выбирается я урна),

Теорема (формула полной вероятности). Пусть событие может произойти с каждой из гипотез с условными вероятностями Тогда вероятность события в данном опыте (полная вероятность) вычисляется по формуле полной вероятности:

(11)

Пример 21. Его условие не переписываем. Вводим гипотезы

(выбирается урна), Обозначим событие

(извлекается красный шар). Из условия задачи ясно, что P(A/ =5/7,

P(A/ )=3/10. Тогда по формуле полной вероятности

Заметим, что полная вероятность Р(А) – это усреднённый показатель – она всегда находится между наименьшей и наибольшей условными вероятностями Р(А/ ).

В примере 21:

Важно отметить, что в данном примере хотя урны и неотличимы (вероятности выбора урн одинаковы), их вклад в полную вероятность различен – в 1-й урне доля красных шаров больше По этой причине, если стало известно, что событие произошло (извлечен красный шар), то у нас будет больше оснований считать, что шар вынут из 1-й урны (реализовалась гипотеза ). Другими словами, после получения дополнительной информации (событие произошло), априорные вероятности гипотез должны быть пересчитаны. Эти послеопытные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) пересчитываются по формулам Байеса:

= , (12)

Пример 22. Студенты группы по-разному подготовились к экзамену: 6 человек подготовились отлично (знают все 20 вопросов программы); 8 человек подготовились хорошо (знают 16 вопросов программы); 4 человека подготовились средне (знают 10 вопросов программы); 2 студента подготовились плохо (знают 5 вопросов программы). На экзамене студент получает 2 вопроса. Определить вероятность того, что студент, ответивший на оба вопроса, является

а) отличником; б) хорошистом; в) середняком; г) плохо успевающим студентом?

Решение. Обозначим событие {студент ответил на оба вопроса}, вводим гипотезы: {студент – отличник}, {студент- хорошист}; ={студент – середняк}; {студент является плохо успевающим}. Т.к. в группе всего 20 студентов, то по условию задачи Проверяем:

Для формул Байеса сначала надо вычислить полную вероятность.

Вычислим условные вероятности:

т.к. отличники знают все вопросы.

.

Следовательно,

Как видим, из четырёх слагаемых, дающих сумму 0,605, вклад наибольший у первого и второго. Вычислим по формулам Байеса апостериорные (условные) вероятности гипотез:

Проверяем: .

Видим, что вероятности гипотез сильно перераспределились: до опыта на первые две гипотезы приходилось 0,3+0,4 =0,7, а после опыта 0,446 +0,418 = =0,914. Вместе с тем при заданном уровне подготовки к экзамену, если студент ответил на оба вопроса билета, то вероятность того, что этот студент – отличник (и ему надо ставить отличную оценку?) равна лишь 0,496 (меньше 50%) и для хорошиста – 0,418. Правда, для двоечника такая вероятность совсем малая – 0,008. В любом случае у преподавателя лучший выход для объективной оценки – задавать дополнительные вопросы.

Пример 23. В ящике лежат 25 теннисных мячей – 20 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 4 мяча и после игры возвращают в ящик. Затем для второй игры также наудачу берут 2 мяча. Какова вероятность, что вторая игра будет проводиться старыми мячами?

Решение. Вводим гипотезы = {для первой игры взято i старых мяча}, i = 0,1,2,3,4. Найдём вероятности гипотез по формулам комбинаторики.

Проверяем:

Далее обозначаем событие А = {вторая игра будет проводиться старыми мячами} и вычисляем условные вероятности

Если осуществилась гипотеза то для первой игры взято ноль старых мячей, т.е. 4 новых и для второй игры эти мячи уже будут играными – из 25 мячей новых станет 16 и 9 играных, поэтому

Аналогично,

По формуле полной вероятности получаем

=

+