Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах

Скалярное произведение векторов

Пусть точки Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . Тогда длина отрезка, соединяющего концы векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , находится по очевидной формуле: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . Для расстояния Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru от начала Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru введем обозначения Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . Перейдем к углам между векторами. Если j - угол между отрезком, соединяющим О с Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и положительной осью a1, а Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru - угол между отрезком, соединяющим О с Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и той же осью, то углом между векторами Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru будет Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . Тогда Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . Введем обозначение: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Определение.Скалярным произведением Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ненулевых векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Если хотя бы один из векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru нулевой, то скалярное произведение равно нулю. Для обозначения скалярного произведения часто используется запись Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Из определения следует, что скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны (угол между ними 90°, а Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ).

Свойства скалярного произведения:

1) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ; 2) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

3) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ; 4) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru при Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

5) скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми прямоугольными координатами, равно сумме произведений одноименных декартовых координат, то есть, если Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , то Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Скалярное произведение вектора на себя есть квадрат длины самого вектора, а длина вектора из ортонормированного базиса равна единице.

С помощью скалярного произведения находят:

1. длину вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru : Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

2. расстояние d между точками А(х11,z1) и В(х22,z2):

Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

3. проекцию одного вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru на направление другого вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru : Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

4. косинус угла между векторами: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , где j - угол между векторами Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

5. координаты орта вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , то есть координаты вектора, направленного так же, как Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , но по длине равного единице. Координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Векторное и смешанное произведение векторов

Определение.Векторным произведением двух непараллельных векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru называется третий вектор Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , обозначаемый Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru или Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и удовлетворяющий следующим условиям:

1. вектор Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ортогонален каждому из векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , то есть перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти вектора;

2. если векторы Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru отложены от одной точки О, то с конца вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru поворот от вектора Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru к вектору Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru на меньший угол осуществляется против часовой стрелки; в этом случае тройка Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru называется правой;

3. Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , где Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru - угол между векторами Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ; если векторы Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru параллельны, то полагают Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Свойства векторного произведения:

1. Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ; 2) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ; 3) Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

2. величина модуля векторного произведения Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru равна площади параллелограмма, построенного на векторах Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

3. координаты векторного произведения векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru можно найти через определители следующим образом: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Определение. Смешанным произведением трех векторов Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначается смешанное произведение следующим образом: Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru или просто Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru .

Свойства смешанного произведения:

1. Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru - т.е. перестановка в произведении двух векторов местами ведет к смене знака всего произведения;

2. модуль смешанного произведения Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru трех некомпланарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru . При этом Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , если тройка Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru - правая и Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , если тройка векторов левая;

3. если векторы Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru заданы декартовыми координатами, то Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru ;

4. три векторы Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru , Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах - student2.ru лежат в одной плоскости (компланарны) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Наши рекомендации