Операции над векторами в координатах

№	Вид операции	Исходные данные	Операции в координатах
	Координаты вектора	А (х1; у1); В (х2;у2)
	Длина вектора
	Сложение и вычитание векторов
	Умножение вектора на число	;
	Скалярное произведение векторов
	Угол между векторами
	Координаты середины отрезка	А (х1; у1); В (х2;у2)
	Расстояние между точками	А (х1; у1); В (х2;у2)

Теорема 1. Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

если = (х₁; у₁) и = (х₂; у₂) коллинеарны, то .

Теорема 2. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны: ( ) .

Пример 1. Даны точки А(4;-3), В(-2;-9).

Найти: 1) координаты вектора ;

2) длину вектора ;

3) координаты точки М – середины АВ.

Решение:

1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора: .

Тогда ; .

2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле: .

.

3) Пусть точка М – середина отрезка АВ. Тогда ее координаты находятся по формуле: : М ; М (1; -6).

Ответ: =(-6; -6), , М (1; -6).

Пример 2. Даны , .

Найдите: 1) ; 2) ; 3)

Решение:

1) Вектор задан в виде разложения по базисным векторам . Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису: .

Найдем координаты векторов и по формуле: . Тогда

= (6; -10); = (12; 3).

Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов: . Получим, что = (6-12; -10-3); = (-6; -13).

2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов: .

Получим: ;

; .

3) Найдем косинус угла между векторами по формуле = .

; ;

=

Ответ: 1) = (-6; -13); 2) ; 3) = .

Пример 3. При каком значении n векторы ,

1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Решение:

1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что

; .

Следовательно, при n= – 4 векторы и коллинеарны.

2) Воспользуемся теоремой 2: если .

Þ –2 + 8n = 0; 8n = 2; n = ; n = ; n = 0,25.

Следовательно, при n = 0,25 векторы и перпендикулярны.

Ответ: 1) n = – 4; 2) n = 0,25.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 2, § 8 – 10, стр. 63 – 73.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 3, §3.1, 3.2, стр. 53 – 60.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §1 - 4, стр. 125 - 141.

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка

Задание 7. Составление уравнений прямых – 0,5 ч.

Цель: формирование умения составлять уравнения прямых на плоскости.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&7.1.Опираясь на обобщающие таблицы, изучите, какими способами можно задать прямую, и какие виды уравнения прямой существуют.

?7.2. В треугольнике заданы координаты вершин (-5; 3), (2; -1), (6; 3). Составьте уравнение:

а) прямой ;

б) медианы ;

в) прямой, проходящей через точку параллельно ;

г) прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом =3.

¶7.3. - трапеция с основаниями и , в которой (-2; 1), (1; 2), (4; -1), (-2; -3).

Составьте уравнение:

а) диагонали в каноническом виде;

б) прямой, параллельной основаниям, проходящей через точку (-3; -1) в параметрическом виде;

в) прямой, проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси угол (вид уравнения прямой – с угловым коэффициентом);

г) средней линии трапеции в каноническом виде;

д) прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

¶7.4. Запишите уравнение прямой во всех видах (общем, каноническом, параметрическом, с угловым коэффициентом) и постройте эту прямую:

а) ; б)

Методические указания по выполнению работы:

Уравнением линиина плоскости называется уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Прямые – самые простые линии на плоскости. Им соответствуют уравнения первой степени.

При решении задач удобно использовать следующие обобщающие таблицы:

Способы задания прямой

№	Способ задания	Исходные данные	Уравнение прямой
	С помощью точки и направляющего вектора	,
	Через две точки
	Через точку с заданным угловым коэффициентом	k = tg a

Виды уравнений прямой

№	Вид	Уравнение прямой
	Общее уравнение прямой	Аx + By + C = 0
	С угловым коэффициентомk ( k = tg a.)
	Каноническое ( - координаты точки, - направляющего вектора)
	Параметрическое( - координаты точки, - направляющего вектора)

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-2) и имеющей направляющий вектор в каноническом и параметрическом виде.

Решение: Определим способ задания прямой: с помощью точки и направляющего вектора .

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение : - канонический вид.

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение : - параметрический вид.

Ответ: ,

Пример 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(2; 3) и В(7; 5).

Решение: Подставив в формулу координаты данных точек, получим искомое уравнение прямой: .

Ответ: l: .

Пример 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M₀(-3; 2) и образующей с положительным направлением оси ОХ угол

Решение: Найдём угловой коэффициент прямой: k = tg a. k = tg ; k = 1.

Подставим k и координаты точки M₀ в уравнение :

Ответ:

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 4, §19 – 21, стр. 122 – 132.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 3, §3.4, стр. 61 – 63.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §5, стр. 141 - 149.