Линейные операции над векторами

Тема 1. Геометрические векторы

Основные определения

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, соединяющий точку с точкой . Векторы принято обозначать также жирными буквами или буквами с чертой (стрелкой) сверху .

Длина (модуль) вектора обозначается , длина вектора обозначается . Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых (обозначается ). Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены (обозначается ) или противоположно направлены ( ). Два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправлены и имеют одинаковую длину. Это определение означает, что параллельное перемещение не меняет вектора. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции

Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Так, если , то , так как .

Произведением вектора на число , называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого , сонаправленный вектору , если и противоположно направленный если .

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными.

Линейные операции обладают следующими свойствами:

L1. ; L2. ;

L3. ; L4. ;

L5. ; L6. ;

L7. ; L8. .

Эти свойства называются аксиомами линейного пространства.

Координаты вектора

Обозначим символами единичные векторы, лежащие на координатных осях декартовой прямоугольной системы координат. Для любого вектора имеет место разложение , где коэффициенты называются координатами вектора. Вектор, таким образом, однозначно задается своими координатами. Принято также обозначение .

Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Таким образом, линейные операции над векторами можно заменить линейными операциями над координатами.

Отсюда, в частности, следует, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Примеры решения типовых задач

Линейные операции над векторами

Задача 1.Для неколлинеарных векторов построить вектор

Решение. Пусть (см.рис.).

Вектор лежит на той же прямой, что и вектор , втрое длиннее вектора и направлен в сторону, противоположную вектору . Следовательно . Вектор , а вектор .

Задача 2. Даны векторы . Найти вектор .

Решение. Применив свойства линейных операций над векторами, получим: .

Задача 3. Даны векторы . Найти вектор .

Решение. При сложении векторов, заданных координатами, их координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Следовательно .

Задача 4.При каких значениях и векторы и коллинеарны.

Решение. Векторы, заданные координатами, коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть . Получаем: .

Задача 5. Найти медиану треугольника с вершинами в точках .

Решение. Координаты точки (середины отрезка ) равны полусумме координат точек и , то есть . Координаты вектора равны разности координат точек и , то есть .

Разложение векторов

Задача 6. Точка лежит на стороне параллелограмма и а точка лежит на стороне и .

Разложить векторы и по векторам .

Решение. По правилу сложения векторов .

Так как , то .

Аналогично . Следовательно .

Чтобы найти коэффициенты разложения, надо решить систему уравнений:

.

Подставив разложение в первое уравнение системы, получим .

Задача 7. Разложить вектор по векторам .

Решение. Представим вектор в виде . Векторы равны, если равны их координаты. Приравняв одноименные координаты векторов справа и слева от знака равенства, получим для вычисления неопределенных коэффициентов и следующую систему уравнений:

Чтобы исключим коэффициент из первого уравнения, умножим второе уравнение системы на 4 и вычтем из первого.

.

Получаем .