Физический смысл производной

Под физическим смыслом производной понимают скорость изменения функции в данной точке. Например:

1) при движении тела скорость в данный момент времени есть производная от пути :

2) при вращательном движении твердого тела вокруг оси угловая скорость в данный момент времени есть производная от угла поворота: :

3) при охлаждении тела скорость охлаждения в момент времени есть производная от температуры:

4) теплоемкость С для данной температуры есть производная от количества тепла :

5) при нагревании стержня коэффициент линейного расширения при данном значении температуры есть производная от длины :

Пример 2. Найти скорость точки, движение которой описывается уравнением , в конце третьей секунды.

Решение.Скорость определяется по формуле

Когда , имеем (м/с).

Дифференциал функции

Дифференциал функции, как и производная, применяется при решении ряда практических задач, в частности в приближенных вычислениях.

Определение 1. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или )

(1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (1) можно записать так:

(2)

откуда

Основные свойства дифференциала

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

. (3)

Теорема 1. Дифференциалы суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами

, (4)

, (5)

. (6)

Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пример 1.Найти дифференциал функции .

Решение.

Пример 2.Найти дифференциал функции .

Решение.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

При малых справедливая формула , т.е.

. (7)

Данная формула широко применяется в вычислительной практике, так как дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции.

Пример 3.Вычислить приближенно с помощью дифференци-ала значение функции в точке .

Решение.Ближайшая к 1,97 точка, у которой легко вычислить значение и , – это точка .

, .

По формуле 2 имеем