Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная Физический смысл производной. - student2.ru – это скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке Физический смысл производной. - student2.ru . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная Физический смысл производной. - student2.ru – скорость в момент времени Физический смысл производной. - student2.ru . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Физический смысл производной. - student2.ru – скорость изменения количества электричества в момент времени Физический смысл производной. - student2.ru , т.е. сила тока в момент времени Физический смысл производной. - student2.ru .

Геометрический смысл производной.

Пусть Физический смысл производной. - student2.ru – некоторая кривая, Физический смысл производной. - student2.ru – точка на кривой Физический смысл производной. - student2.ru .

Любая прямая, пересекающая Физический смысл производной. - student2.ru не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой Физический смысл производной. - student2.ru в точке Физический смысл производной. - student2.ru называется предельное положение секущей Физический смысл производной. - student2.ru , если точка Физический смысл производной. - student2.ru стремится к Физический смысл производной. - student2.ru , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке Физический смысл производной. - student2.ru существует, то она единственная.


Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке Физический смысл производной. - student2.ru он имеет невертикальную касательную Физический смысл производной. - student2.ru . Ее уравнение: Физический смысл производной. - student2.ru (уравнение прямой, проходящей через точку Физический смысл производной. - student2.ru и имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента Физический смысл производной. - student2.ru , где Физический смысл производной. - student2.ru – угол наклона прямой Физический смысл производной. - student2.ru к оси Физический смысл производной. - student2.ru .

Пусть Физический смысл производной. - student2.ru – угол наклона секущей Физический смысл производной. - student2.ru к оси Физический смысл производной. - student2.ru , где Физический смысл производной. - student2.ru . Так как Физический смысл производной. - student2.ru – касательная, то при Физический смысл производной. - student2.ru

Физический смысл производной. - student2.ruФизический смысл производной. - student2.ruФизический смысл производной. - student2.ru .

Следовательно,

Таким образом, получили, что Физический смысл производной. - student2.ru – это угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке Физический смысл производной. - student2.ru (геометрический смысл производной функции в точке).Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке Физический смысл производной. - student2.ru можно записать в виде

Физический смысл производной. - student2.ru

Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е Физический смысл производной. - student2.ru , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е Физический смысл производной. - student2.ru . .

3) Производная произведения дифференцируемых функций находится по правилу: Физический смысл производной. - student2.ru .

4) Константу можно выносить за знак производной : Физический смысл производной. - student2.ru , где Физический смысл производной. - student2.ru - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: Физический смысл производной. - student2.ru .

Правило дифференцирования сложной функции.

6) Если функция Физический смысл производной. - student2.ru имеет производную в точке Физический смысл производной. - student2.ru , а функция Физический смысл производной. - student2.ru имеет производную в точке Физический смысл производной. - student2.ru , то сложная функция Физический смысл производной. - student2.ru имеет производную в точке Физический смысл производной. - student2.ru , причем Физический смысл производной. - student2.ru .

Первообразная. Неопределённый интеграл

Первообразная.Непрерывная функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке X , если для каждого Физический смысл производной. - student2.ru

F’ ( x ) = f ( x ).

П р и м е р . Функция F ( x ) = x 3 является первообразной для функции

f ( x ) = 3x 2 на интервале ( - Физический смысл производной. - student2.ru , + Физический смысл производной. - student2.ru ) , так как

F’ ( x ) = ( x 3)’ = 3x 2 = f ( x ) для всех x Физический смысл производной. - student2.ru ( - Физический смысл производной. - student2.ru , + Физический смысл производной. - student2.ru ) . Легко проверить, что функция x 3 + 13 имеет ту же производную 3x 2, поэтому x 3 + 13 также является первообразной для функции 3x 2 для всех x Физический смысл производной. - student2.ru ( - Физический смысл производной. - student2.ru , + Физический смысл производной. - student2.ru ) . Ясно, что вместо 13 можно взять любую постоянную.

Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.

Неопределённый интеграл функции f ( x ) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:

Физический смысл производной. - student2.ru

где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Наши рекомендации